Bestimmen Sie (mit Begründung!) alle Primzahlen p, für die auch phoch2 + 2 eine Primzahl ist.

Question

Bestimmen Sie (mit Begründung!) alle Primzahlen p, für die auch p² + 2 eine Primzahl ist.
Hinweise:

(1) Betrachten Sie zunächst, wie immer, einige Beispiele.
(2) Jede Primzahl p≠ 3 lässt sich schreiben als 3q − 1 oder 3q + 1 für eine geeignete ganze Zahl q.

Ich habe die Aufgabe leider nicht verstanden

Comments

Ist gemeint p² + 2?

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Hallo

hast du die ersten paar ausprobiert? daraus etwas gesehen? einen Zusammenhang zu dem Hinweis 2?

lul

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Ja genau ich meinte p²

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Dann schreib halt auch p² hin...

Lul hat auch etwas gefragt.

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Zusatzfrage, was kann man an der Aufgabe nicht verstehen?

lul

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@joners: das rechtfertigt doch keine Meldung. Immerhin wird Mitarbeit der FS hier grundsätzlich nicht verlangt, was man ja an unzähligen anderen Fragen sieht. :)

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https://www.mathelounge.de/ask sieht das anders, siehe P5.

Wer so dreist auf die Formfrage, aber nicht auf die hilfestellende Nachfrage antwortet, hat doch garkeinen Bock, mehr als eine Lösung hier zu sehen. Also einfach löschen und auf chatgpt oder fähigere Kommiliton*innen verweisen.

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An anderer Stelle steht aber, dass Komplettlösungen bevorzugt werden. Und darauf spekulieren die Leute eben.

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Wenn man diese Fälle alle melden wollte, hätte man hier viel zu tun.

Answer 1

Wink mit dem Zaunpfahl: Ist \(x\in\mathbb{Z}\) nicht durch \(3\) teilbar, dann ist \(x^2+2\) durch \(3\) teilbar. Wie du das beweist, ist dir überlassen, du hast ja nicht viele Informationen über deinen Wissensstand gegeben.

Die von dir oben erfragte Eigenschaft kann also nicht von all zu vielen Primzahlen erfüllt sein.

Answer 2

2, 6 nicht prim;
3, 11 prim;
5, 27 nicht prim;
7, 51 nicht prim;
11, 123 nicht prim;
13, 171 nicht prim;
17, 291 nicht prim;
19, 363 nicht prim;

Vermutung p = 3 ist die einzige Primzahl für die auch p^2 + 2 prim ist.

Für p ≠ 3 gilt:

p^2 + 2 = (3·q - 1)^2 + 2 = 9·q^2 - 6·q + 3 = 3·(3·q^2 - 2·q + 1) ist durch 3 teilbar und damit nicht prim.

p^2 + 2 = (3·q + 1)^2 + 2 = 9·q^2 + 6·q + 3 = 3·(3·q^2 + 2·q + 1) ist durch 3 teilbar und damit nicht prim.