Raum nicht vollständig mit der L^2 Norm

Question

Aufgabe:

Das Intervall J=(-1,1) ist gegeben. Zeige mithilfe der Funktion f_n(x)=max(0,min(1,nx)) mit n∈ℕ, dass der Raum C(J,ℝ) mit der der Norm ||·||₂ (Norm in L² ) nicht vollst. ist.

Problem/Ansatz: Normalerweise muss ich für Vollständigkeit zeige, dass jede Cauchyfolge in dem Raum einen Grenzwert besitzt. Nur wie zeige ich es hier, in diesem Fall? Ich vermute auch, dass ich den Beweis mithilfe eines beliebigen ONS beweisen muss.

Ich würde mich über jegliche Ansätze oder Hilfestellungen freuen:)

Vielen Dank!

Comments

Hast Du die Funktionen denn schon skizziert? Weißt Du, ob / wie die punktweise konvergieren?

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Ich würde sagen, dass FN punktweise gegen f(x)=0 konvergiert. Aber ich bin mir etwas unsicher, da mir dieses Thema noch nicht so liegt...

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Die Funktion konvergiert gegen die Heavisidefunktion f(x)!

Muss ich also nur zeigen, dass fn punktweise gegen f(x) konvergiert. Und weil die heavisidefkt nicht stetig ist, ist der Raum nicht vollständig?

Answer 1

Ganz so einfach ist es nicht, aber der punktweise Grenzwert kann einem helfen, den Nachweis auf die Reihe zu bringen.

Zu zeigen ist: Die Folge \((x_n)\) ist Cauchy-Folge bezüglich der L2-Norm, aber es gibt keine stetige Funktion \(x \in C(J,\R)\) mit \(\|x-x_n\|_2 \to 0\).

Die Heaviside-Funktion gibt nun eine technische Hilfe. Es sein nun h die Heaviside-Funktion, dann gilt \(\|h-x_n\|_2 \to 0\); denn

$$\|h-x_n\|_2^2=\int_0^{1/n}(1-nt)^2dt=\frac{1}{3n} \to 0$$

Sei jetzt \(x \in C(J,\R)\) mit \(q:=x(0)>0\), dann existiert wegen der Stetigkeit ein \(d>0\), so dass

$$t \in [-d,d] \Rightarrow x(t)>0.5q$$

Damit ist

$$\|x-h\|_2^2\geq \int_{-d}^0(x(t)^2 dt\geq 0.25dq^2$$

Damit geht auf \(\|x-x_n\|_2\) nicht gegen 0.

Analog kann man den Fall, das x(0) nicht-positiv ist.....