Eindeutigkeit von Nullstellen zeigen

Question

Sei K ein Körper. Wir betrachten eine Aussage zur multiplikativen Gruppe von K: Ist \( a \in K^{*} \) mit Ord \( a=d|| K^{*} \mid \) (\( \Rightarrow a^d=1\)), so hat \( x^{d}-1 \) genau \( d \) Nullstellen in \( K \), nämlich \( 1, a, \ldots, a^{d-1} \). Das ist eine Teilaussage eines anderen Beweises.

1. Durch das Thema Polynomdivision weiß ich, dass das Polynom \( x^{d}-1 \) höchstens d viele Nullstellen haben kann.

2. Ich habe gezeigt, dass für alle \(0 \leq k <d \) \(a^k \) eine Nullstelle ist, also \( (a^k)^d-1=(a^d)^k-1=1^k-1=0 \) 

3. Mir macht die Eindeutigkeit etwas Schwierigkeiten. Ich möchte zeigen, dass es neben den genannten, keine weiteren Nullstellen gibt. Also in die Richtung Widerspruchsbeweis. Sei \(q \in K^* \) und \(q^d=1 \), aber \(q \neq 1,...,a^{d-1} \), dann soll das einen Widerspruch hervorrufen. Hat da womöglich jemand eine Idee zu, wie ich diesen herbeiführen könnte?

Comments

Ord \( a=d|| K^{*} \mid \) (\( \Rightarrow a^d=1\))

Ich kann das nicht entziffern.

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Du weißt, dass das Polynom höchstens d Nullstellen hat.

Du hast d mögliche Kandidaten für die Nullstellen gefunden, nämlich a^i für i=0,...,d-1

Um zu zeigen, dass es genau d Nullstellen sind reicht es jetzt zz dass die d Kandidaten p.w. verschieden sind

Nimm also an a^i = a^j mit 0≤i<j<d und führe das zu einem Widerspruch.

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Oswald sorry für die schlechte Notation, in Worten: Die Ordnung von a ist d und d teilt die Kardinalität der multiplikativen Gruppe von K. Nach Def der Ordnung ist dann \( a^d=1 \)

Answer 1

Zeige, dass die \( 1, a, \ldots, a^{d-1} \) paarweise verschieden sind.

Comments

Meine Idee:

$$a^i=a^j \iff a^i*a^{-i}=a^j*a^{-i} \iff 1 = a^{j-i}$$

Da nun j-i<d steht das im Widerspruch dazu, dass die ord(a)=d.

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Könntest du da ggf. auch nochmal erklären, warum die Aussage, dass die Nullstellen paarweise verschieden sind, äquivalent dazu ist, dass es keine weiteren Nullstellen gibt?