Zeigen Sie durch die folgenden Schritte dass f Riemann-integrierbar ist (d.h.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Problem 1 Riemann-Integrierbarkeit
Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine monoton fallende, beschränkte Funktion. Zeigen Sie durch die folgenden Schritte dass \( f \) Riemann-integrierbar ist (d.h. beweisen Sie den entsprechenden Teil von Theorem \( 6.9 \mathrm{im} \) Skript).
(a) Geben Sie eine uniforme Zerlegung \( \left\{x_{i}: i=0, \ldots n\right\} \) von \( [a, b] \) sowie Treppenfunktionen \( \phi_{n}, \psi_{n} \) an, so dass \( \forall x \in[a, b]: \phi_{n}(x) \leq f(x) \leq \psi_{n}(x) \). Konstruieren Sie diese Treppenfunktionen abhängig von der Feinheit der Zerlegung, so dass \( f \) gut angenähert wird, d.h., \( \left|f(x)-\phi_{n}(x)\right|,\left|f(x)-\psi_{n}(x)\right| \) sollen klein sein. Diese Approximation soll besser werden wenn \( n \) größer wird.
(Hinweis: Uniforme Zerlegung bedeutet dass \( \left|x_{i}-x_{i-1}\right| \) gleich ist für alle \( i \).)
(b) Berechnen Sie \( \int \limits_{a}^{b} \psi_{n}(x) d x-\int \limits_{a}^{b} \phi_{n}(x) d x \). Was passiert wenn die Zerlegung verfeinert wird? Bestimmen Sie den Grenzwert für \( n \rightarrow \infty \).

Problem/Ansatz:

Wie geht man bei Aufgabe 1 (a) vor?

Answer 1

Hallo
zeichne doch mal eine beliebige monoton fallend Funktion, und unterteile sie in n z. 7 bis 10 Teile, welche summe ist sicher größer gleich der flache, welche kleiner? Scheibe die Differenzen zwischen den beiden auf dem 1. Intervall zusammen. Zusatzfrage ist monoton fallend bei euch mit durch f(y)-f(x) >0 falls y<x definiert oder mit >=, das erste sagt auch streng monoton das zweite manchmal schwach monoton wie z.B, eine konstante oder stückweise konstante Funktion.

Was ist Theorem 6.9?

Gruß lul