Zeigen Sie, dass die Abbildung F:(X, d) →(X, d) Lipschitz-Stetig ist

Question

Aufgabe:

Es sei für $b \in(0, \infty)$ der Vektorraum $X=C([0, b])$ der stetigen reellwertigen Funktionen $f:[0, b] \rightarrow \mathbb{R}$ mit der Supremumsnorm $\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in[0, b]}|f(t)|$ versehen. Die dazu assoziierte Metrik $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ ist definiert durch $d(f, g)=\|f-g\|_{\infty}$ für $f, g \in X$. Zeigen Sie, dass die Abbildung $F:(X, d) \rightarrow(X, d)$, definiert durch
$F(f)(t)=\int \limits_{0}^{t} f(s) d s \quad f \in X, t \in[0, b]$
Lipschitz-stetig ist.

Problem/Ansatz:

Dazu hätte ich mir folgendes gedacht:

Stimmen diese Überlegungen soweit (die Angebe finde ich auch etwas verwirrend), reicht diese Überlegung aus, muss noch was ergänzt werden?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Du hast die Aufgabe noch nicht richtig verstanden: Die Argumente von F sind nicht Zahlen $u,t \in [0,b]$, sondern Funktionen $f,g \in X$. Dementsprechend ist eine Abschätzung

$$\|F(f)-F(g)\|_{\infty} \leq L \|f-g\|_{\infty}$$

nachzuweisen.

Dabei kannst Du allerdings Deine Überlegungen verwenden.

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Ach so - danke dir (es läuft also trotzdem Analog zu meiner ersten Überlegung)?

Answer 1

Für $f,g \in X$ gilt nach Definition

$$\forall t \in [0,b]: |f(t)-g(t)| \leq \|f-g\|_{\infty}$$

Daher für alle t in [0,b]:

$$|F(f)(t)-F(g)(t)|=|\int_0^b(f(t)-g(t))dt|\leq \int_0^b|f(t)-g(t)|dt \leq b\|f-g\|_{\infty}$$

Das heißt:

$$\|F(f)-F(g)\|_{\infty} \leq b\|f-g\|_{\infty}$$