Hier muss man etwas vorsichtig sein, da ein komplexer Logarithmus gezogen werden muss. D.h. insbesondere, dass man die \(2\pi i\)-Periodizität von \(e^z\) beachten muss.
(1)
$$e^z = e^{iz}\Leftrightarrow 1= e^{z(1-i)}$$$$ \Leftrightarrow z(1-i) = 2\pi i n \text{ mit } n\in\mathbb Z$$$$\Leftrightarrow z \stackrel{\frac 1{1-i}=\frac 12 (1+i)}{=} n\pi i (1+i) = \boxed{(-1+i)n\pi \text{ mit } n\in\mathbb Z}$$
(2)
\(u=e^z \Rightarrow u^2+iu+1 = 0\)
\(u^2+iu+1= (u + i/2)^2 -(i^2/4)+1 = (u + i/2)^2 + 5/4\)
\(\Rightarrow u = -\frac{\sqrt 5 +1}2 i = \frac{\sqrt 5 +1}2 e^{-\frac{\pi}2 i} \stackrel{!}{=}e^z\) und
\(\Rightarrow u = \frac{\sqrt 5 -1}2 i = \frac{\sqrt 5 -1}2 e^{\frac{\pi}2 i} \stackrel{!}{=}e^z\)
Also:
\(z = \ln\frac{\sqrt 5 +1}2 -\frac{\pi}2 i + 2\pi i n \text{ mit } n\in\mathbb Z\) und
\(z = \ln\frac{\sqrt 5 -1}2 +\frac{\pi}2 i + 2\pi i n \text{ mit } n\in\mathbb Z\)
