Komplexe Gleichungen mit Euler

Question

Folgende komplexe Gleichungen sind gegeben:

$e^{z}=e^{i z}$

$e^{2 z}+i e^{z}+1=0$

Hallo, ich brauche Hilfe bei den obigen Aufgaben, ich habe schon mehrere Schritte versucht aber komme nicht

auf den richtigen Lösungsweg.

Kann mir jemand den Lösungsweg erklären und sagen welche Regeln man anwenden kann und darf?

LG coffee.cup

Answer 1

$e^{2 z}+i e^{z}+1=0$

$e^{2 z}+i e^{z}=-1$

$(e^{ z}+\frac{1}{2}*i)^2=-1+(\frac{1}{2}*i)^2 =-1+\frac{1}{4}*i^2=-1-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}*i^2 | \sqrt{~~}$

1.)

$e^{ z}+\frac{1}{2}*i= \frac{1}{2}*i* \sqrt{5}$

$e^{ z}= -\frac{1}{2}*i+ \frac{1}{2}*i* \sqrt{5}$

2.)

$e^{ z}+\frac{1}{2}*i= -\frac{1}{2}*i* \sqrt{5}$

$e^{ z}= -\frac{1}{2}*i- \frac{1}{2}*i* \sqrt{5}$

Nun noch die beiden z ausrechnen.

Comments

Danke für die Antwort. Wie kommt man denn auf das 1/2 in der 3. Zeile?

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Es sei

$x^2+4x-12=0$

$(x^2+2)^2=12+2^2=16 |\sqrt{~~}$

1.)

$x+2=4$

$x_1=2$

2.)

$x+2=-4$

$x_2=-6$

Answer 2

Hier muss man etwas vorsichtig sein, da ein komplexer Logarithmus gezogen werden muss. D.h. insbesondere, dass man die $2\pi i$-Periodizität von $e^z$ beachten muss.

(1)

$$e^z = e^{iz}\Leftrightarrow 1= e^{z(1-i)}$$$$\Leftrightarrow z(1-i) = 2\pi i n \text{ mit } n\in\mathbb Z$$$$\Leftrightarrow z \stackrel{\frac 1{1-i}=\frac 12 (1+i)}{=} n\pi i (1+i) = \boxed{(-1+i)n\pi \text{ mit } n\in\mathbb Z}$$

(2)

$u=e^z \Rightarrow u^2+iu+1 = 0$

$u^2+iu+1= (u + i/2)^2 -(i^2/4)+1 = (u + i/2)^2 + 5/4$

$\Rightarrow u = -\frac{\sqrt 5 +1}2 i = \frac{\sqrt 5 +1}2 e^{-\frac{\pi}2 i} \stackrel{!}{=}e^z$ und

$\Rightarrow u = \frac{\sqrt 5 -1}2 i = \frac{\sqrt 5 -1}2 e^{\frac{\pi}2 i} \stackrel{!}{=}e^z$

Also:

$z = \ln\frac{\sqrt 5 +1}2 -\frac{\pi}2 i + 2\pi i n \text{ mit } n\in\mathbb Z$ und

$z = \ln\frac{\sqrt 5 -1}2 +\frac{\pi}2 i + 2\pi i n \text{ mit } n\in\mathbb Z$