Exponential- und Logarithmusgleichungen

Question

Aufgabe:

(i) Bestimmen Sie alle Lösungen \( x \in \mathbb{R} \) der folgenden Gleichungen. Beachten Sie dabei, welche \( x \) aufgrund der Definitionsbereiche der verwendeten Funktionen überhaupt in Frage kommen.

(a) \( \log \left(x^{4}\right)=1 \)

(b) \( \exp (17 x)=1 \)

(c) \( \log \left(x^{2}-1\right)=\log (x)+1 \)

(d) \( \log \left(-x^{2}+2 e x\right)=2 \)

(ii) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach \( x \) auf.

(a) \(\displaystyle y=\frac{\exp (x)}{1+\exp (x)} \) für \( y \in(0,1) \)

(b) \( y=\log \left(x^{2}+1\right)+\log \left(x^{2}-1\right) \) für \( y \in(-\infty, \infty) \).

Problem/Ansatz:

Comments

Wenn ihr den log() benutzt. Zu welcher Basis soll der dann sein? Zur Basis 10 oder zur Basis e?

Und wobei hast du denn konkret Probleme, beim Auflösen der Gleichungen?

Answer 1

hallo

fang mal an mit dem Wissen log(1)=0

e^0=1 für a) und b).

c)loga-log b=log(a/b)

d) e hoch auf beiden Seiten

iii)a  setze erst mal e^x=z löse nach z auf dann log

b denk an c) oben

und nächstes mal versuch wenigstens einige und dann sag was du schon überlegt hast-

lul

Answer 2

a)

ln(x^4) = 1

x^4 = e^1

x= e^(1/4)

b) e^(17x) = 1

17x = ln1 =0

x= 0

c) log(x^2-1)-logx = 1

log((x^2-1)/x)) = 1

(x^2-1)/x = e^1

x^2-e*x-1 = 0

x1/2 = e/2+-√(e^2/2+1)

...

d) -x^2+2ex= e^2

x^2-2ex+e^2 = 0

x1/2 = e+-√(e^2-e^2)

x= e

ii)

 = ye^x+y

e^x(y-1) = -y

e^x = -y/(y-1)

x= ln (-y/(y-1))

b)

y= log((x^2+1)*(x^2-1))

(x^2+1)(x^2-1) = e^y

x^4-1 = e^y

x= (e^y+1)^(1/4)