Funktionen, Konvergenz oder Divergenz.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie fur die angegebenen Folgen die Konvergenz oder Divergenz und ¨
bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert.

(4n³ - (-1)ⁿ * n²)/(5n+2n³)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich hier den Grenzwert berechnen kann, falls n = gerade ist haben wir (4n³-n²)/(5n+2n³) und bei ungerade (4n³+n²)/(5n+2n³). Was muss ich nun tun? Kann mir einer helfen?

Answer 1

hallo

Zähler und Nenner durch n³ teilen, dann geht alles was n im Nenner hat gegen 0 und es bleibt der GW stehen.

lul

Answer 2

Kürzen mit der höchsten Potenz, Wert ist ablesbar: 4/2  = 2

Alle niedrigeren Potenzen kannst du vernachlässigen, egal mit welchem Vorzeichen.

Answer 3

Du kannst die Folge einschließen:

$$\frac{4n^3-n^2}{5n+2n^3} \leq \frac{4n^3-(-1)^n n^2}{5n+2n^3} \leq \frac{4n^3+n^2}{5n+2n^3}$$

Nun gilt

$$\frac{4n^3-n^2}{5n+2n^3} = \frac{4-\frac 1{n}}{\frac 5{n^2}+2}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{4-0}{0+2} = 2$$

$$\frac{4n^3+n^2}{5n+2n^3} = \frac{4+\frac 1{n}}{\frac 5{n^2}+2}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{4+0}{0+2} = 2$$

Damit gilt laut Einschließungssatz

$$\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3-(-1)^n n^2}{5n+2n^3} = 2$$