Konvergenz oder Divergenz

Question

Kann mir Jemand bei folgender Aufgabe helfen?

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{}$ $\sqrt[k]{k}$ -$\sqrt[k+1]{k+1}$ 

Answer 1

Hallo,

das ist eine Teleskopreihe, d. h. der Bauart $\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k-a_{k+1}$, wobei $a_k:=\sqrt[k]{k}$. Es gilt allgemein für jede Teleskopsumme:$$\sum \limits_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{2}-a_{3}\right) \dashv \cdots+\left(a_{n-1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=a_{1}-a_{n+1}$$ Das bedeutet:$$\sum_{k=1}^{\infty}{a_k-a_{k+1}}=a_1-\lim\limits_{k\to\infty}a_{k}$$ Wenn du das auf dein Problem überträgst, so wirst du sehen, dass$$\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt[k]{k}-\sqrt[k+1]{k+1}=0$$

Comments

Erstmal danke fürs antworten,

ich komme leider immer noch nicht auf das Ergebnis.

Wenn ich dies anwende bekomme ich das:

($\sqrt[k]{k+1}$ -$\sqrt[k+1]{k+1}$)-($\sqrt[k+1]{k+1}$ -$\sqrt[k+1+1]{k+1+1}$

Und jetzt weiß ich schon wieder nicht weiter... :(