Zeige, dass die Gleichung keine rationale Lösung besitzt

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Gleichung

$$x^3-6x^2+7x-6=0$$

1.Zeigen Sie, dass die Gleichung keine rationale Lösung x haben kann.

2. Ferro entdeckte eine Lösungsformel für kubische Gleichungen der Form $$x^3+ax+b=0$$

Setzen wir $$D:=(\frac{a}{3})^3 + (\frac{b}{2})^2 $$ so lautet die Lösungsformel

$$x=\sqrt[3]{\frac{-b}{2}+ \sqrt{D}} + \sqrt[3]{\frac{-b}{2}-\sqrt{D}}$$

Problem/Ansatz:

Wie mache ich 1?

Bei 2 würde ich einfach die Terme eingeben. Allerdings frage ich mich, was ich mi dem 6x^2 mache? Lasse ich das einfach wegfallen?

Answer 1

1.

Der Satz über rationale Nullstellen besagt ist x = p/q eine Nullstelle, dann ist das Absolutglied durch p teilbar und der Leitkoeffizient durch q teilbar.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

Der Leitkoeffizent ist hier 1 und damit können die rationalen Nullstellen nur die Teiler von 6 sein. Zeige also, dass ±1, ±2, ±3 oder ±6 keine Nullstellen sind.

2.

Für y = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d substituiere x = z - b/(3·a)

Also bei dir x = z + 6/3 = z + 2

x^3 - 6·x^2 + 7·x - 6 = 0
(z + 2)^3 - 6·(z + 2)^2 + 7·(z + 2) - 6 = 0
z^3 - 5·z - 8 = 0

Nun kann man die Lösungsformel anwenden.

Answer 2

Hallo

mit der Substitution x=z-2 (die 2 kommt von der 6/3 bei x^2) kommst du auf z^2+az+b

Gruß lul

Answer 3

1. Verwende den Satz über rationale Nullstellen.

2. Verschiebe die Funktion \(f(x) = x^3-6x^2+7x-6\) so zur Seite, dass der Wendepunkt auf der \(y\)-Achse liegt. Bestimme dann die Nullstellen. Verschiebe die Nullstellen dann wieder zurück.

Answer 4

1. Mit Cardano-Formel:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/cardanische-formel#

Ferro ist nur eine abgespeckte Cardanoformel.

Der quadratische Term hat den Wert 0 in der Cardano-Formel d.h. der Koeffizient B=0.