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es wäre toll, wenn mir kurz jemand zeigt, wie ich das hierAE74E3AA-0AC7-45DF-9740-E8B6333B667F.jpeg

Text erkannt:

(c) Zeigen Sie, dass die Gleichung
\( 5 \cdot\left(a^{4}+b^{4}\right)=c^{4} \)
keine Lösung \( a, b, c \in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\} \) besitzt.
(d) Untersuchen Sie, ob die Gleichung
\( 5 \cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)=c^{2} \)
eine Lösung \( a, b, c \in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\} \) besitzt. Begründen Sie Thre Antwort!

löse.

Danke! :)

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(d)  5·(12 + 22) = 52.

1 Antwort

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Betrachte die Reste von z^4 mod 5.

Stelle fest, dass es garantiert keine Lösungen geben kann , wenn a≠0 mod 5 oder b≠0 mod 5 gilt.

Untersuche den verbleibenden Fall

a=0 mod 5 und b=0 mod 5

und begründe, warum es da auch nicht geht.

Avatar von 53 k 🚀

kannst du das bitte einmal genauer hinschreiben, ich stehe da grade etwas auf dem Schlauch. Danke für die Antwort! :)

Betrachte die Reste von z^4 mod 5.

Was ist daran unklar?

Ergänze die Lücken:

\(0^4 \equiv ... mod 5\)

\(1^4 \equiv ... mod 5\)

\(2^4 \equiv ... mod 5\)

\(3^4 \equiv ... mod 5\)

\(4^4 \equiv ... mod 5\)

Welche Reste der Summe sind möglich, wenn für beliebige Paare (a,b) die Reste von

\(a^4 \) und \(b^4 \) addierst?

mod5 wäre dann ja immer 1. ich weiß nur nicht wieso man jetzt überhaupt Modulo rechnen muss, um die Lösbarkeit zu bestimmen ich bin damit nicht wirklich vertraut

mod5 wäre dann ja immer 1

Nicht immer. Im ersten Fall ist es 0.

\(a^4 \) + \(b^4 \) ist dann mod 5 entweder

0+1=1 (und damit nicht durch 5 teilbar)

oder

1+1=2 (und damit nicht durch 5 teilbar)

oder

0+0=0 (und nicht durch 5 teilbar).

Wenn der Rest von \(a^4 \) + \(b^4 \)
1 oder 2 ist, ist \(a^4 \) + \(b^4 \) nicht durch 5 teilbar und enthält den Primfaktor 5 NICHT.

\(5 \cdot\left(a^{4}+b^{4}\right)=c^{4} \) enthält dann den Primfaktor 5 genau einmal.

Wenn c^4 durch 5 teilbar sein sollte, müsste c^4 der Primfaktor 5 aber viermal (oder achtmal oder zwölfmal ...) enthalten. Also kann c^4 hier nicht durch 5 teilbar sein und ist so nicht darstellbar.

Jetzt überlege dir entsprechend, wie der Fall a=0 mod 5 und b=0 mod 5 im Hinblick auf die Anzahl der Primfaktoren 5 im Term \(5 \cdot\left(a^{4}+b^{4}\right) \) aussieht.

Wenn a4 + b4 ≡ 0 mod 5 ist, dann ist es nicht durch 5 teilbar?

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