Zeigen sie mit der Definition der Konvergenz

Question

Aufgabe:

Zeigen sie mit der Definition der Konvergenz, dass

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^{2} + 3n}{3n^{2}-n} = \frac{1}{3}$$

Problem/Ansatz:

Als Tipp habe ich noch bekommen, dass ich mit der Ungleichung

$$|\frac{n^{2} + 3n}{3n^{2}-n} - \frac{1}{3}| < ε$$

arbeiten soll.

Bis jetzt ist mir nur eingefallen einen Fallunterscheidung zu machen, aber ich weiß dann nicht mehr weiter.

Comments

Das geht am schnellsten mit Kürzen mit n².
Aber hier ist das Umständlichere gefordert.

Nur als Anmerkung.

Answer 1

$\varepsilon > |\frac{n^2+3n}{3n^2-n}-\frac{1}{3}|=|\frac{10}{9n-3}|=\frac{10}{9n-3}$ für $n\geq 1$.

Nun nach $n$ umstellen ...