Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, das auch noch
linear unabhängig ist.
Du kannst z.B. alle Elemente von ℝ^2 als
Linerkombinationen von
\( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)
darstellen, z.B.
\(\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} = 1\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)
Also bilden die 3 ein Erzeugendensystem.
Den 1. kannst du aber auch weglassen, und hast dann z.B.
\(\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)
Und die beiden sind linear unabhhängig, bilden also eine
Basis. Das hat den Vorteil, dass es immer nur genau eine
Darstellung eines Vektors gibt.
