0 Daumen
64 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben sei die Menge $$\mathcal{E} \subseteq \mathbb{R}_{ \leq 4}[x],$$

$$\mathcal{E} :=\left\{x^{4}+x^{2}+x, x^{4}+x^{3}-1, x^{3}-x, x^{2}+1\right\}$$

$$zeig, dass \left\{x^{4}+x^{3}-1, x^{3}-x, x^{2}+1\right\} \subset \mathcal{E}\ ein\ Erzeugendensystem\ von \ span(\mathcal{E}) \ ist.$$


$$Bestimme \ eine \ Basis \ von\ span(\mathcal{E}) \ und \ gib\ die\ Dimension\ von\ span(\mathcal{E}) \ an.$$
Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand sagen wie man diese beiden Aufgaben bearbeiten würde ? Ich will keine Lösungen sondern Ansätze oder vieleicht ein Beispiel. Danke im Voraus!

von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

$$\mathcal{E} :=\left\{x^{4}+x^{2}+x, x^{4}+x^{3}-1, x^{3}-x, x^{2}+1\right\}$$

$$zeig, dass \left\{x^{4}+x^{3}-1, x^{3}-x, x^{2}+1\right\} \subset \mathcal{E}\ ein\ Erzeugendensystem\ von \ span(\mathcal{E}) \ ist.$$

Um zu zeigen, dass das ein Erz.system ist, musst du nur zeigen, dass jedes der in der 1. Menge gegebenen

Polynome sich als Linearkombination der in der 2. Menge darstellen lässt.

Für das 2., 3. und 4. ist es ja klar und für das erste musst du schauen, ob es a,b, c gibt mit

x^{4}+x^{2}+x = a* (x^{4}+x^{3}-1) + b*(x^{3}-x) + c*( x^{2}+1) .

und ne Basis bilden diese drei, falls sie lin unabh. sind.

von 172 k

Danke dir :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...