Aufgabe zum Thema: Aquivalenzrelation

Question

Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen ?

G sei eine Gruppe mit der Verknüpfung o, U Untergruppe von G. Auf G werde die Relation y∼x wie folgt definiert :
y∼x: ⇔y o x^-1 aus U

Zeige, dass ∼ eine Äquivalentrelation ist

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich dafür zeigen muss, dass die Relation reflexiv, symmetrisch u. transitiv ist, aber ich weiß nicht, wo ich anfangen soll.

Comments

Du musst die Definition der Gruppe kennen, Damit kannst du z.B. leicht beweisen x∼x, weil xo x^-1 aus U ist.

Answer 1

reflexiv steht ja schon im Kommentar.

transitiv: Wenn  y∼x und x∼z dann

           y o x^-1 aus U und x o z^-1 aus U

    also auch (Abgeschl. von U)

               (y o x^-1)  o (x o z^-1) aus U

==>          y o (x^-1 o x) o z^-1 aus U

==>          y o  z^-1 aus U

==>   y∼z     q.e.d.

Fehlt noch symmetrisch: Sei also y∼x ==>

y o x^-1 aus U . also auch  (y o x^-1) ^-1 aus U

==>  y^-1 o x aus U  ==>    x∼y   q.e.d.