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Sei GL(N) := {S ∈ ℝN×N : S regulär}, N ≥ 2. Überprüfen Sie, ob es sich bei

a) A∼B :⇔∃S∈GL(N): B=SAS−1

b) A∼B :⇔∃S∈GL(N),S-1 =ST  : B=SAS-1

c) A∼B :⇔∃S∈GL(N),S=S: B=SAS−1

um eine Äquivalenzrelation auf ℝN×N handelt

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z.B. a) Da musst du prüfen auf reflexiv, symmetrisch und transitiv.

reflexiv: Gilt für alle X ∈ ℝN×N  X~X

Also klären: Gibt es S∈GL(N): X=SXS−1  . Das stimmt, weil

man für S die Einheitsmatrix nehmen kann und die ist in GL(N).

symm.: Stimmt es, dass wenn X~Y dann auch Y~X ?

Ja, denn wenn X~Y dann gibt es S∈GL(N): Y=SXS−1 

               Das von rechts mal S gibt

                                      YS =  SXS-1 S = SXE = SX .

Das von links mal S-1 gibt  S-1YS=X . Nun ist aber (S-1)-1 = S

und mit S ist auch S-1 in GL(N).  Also gilt   S-1Y(S-1)-1=X .

Also ist S-1 die Matrix S∈GL(N), für die  X=SYS−1   gilt.

Somit  auch Y~X.

So ähnlich (mach ich mal was kürzer) bei transitiv:

X~Y und Y~Z

==>  Es gibt...  Y=SXS−1 und Z=TYT−1

Mit der Matrix R=ST ( beachte R-1 = T-1S-1 ) hast du

          Z =TYT−1=T(SXS-1)T−1  = RXR-1 . q.e.d.

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und b und c?

Versuche es doch mal entsprechend.

bekomme es leider nicht hin bis jetzt

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