Euklidisches Skalarprodukt vom Gradienten

Question

Aufgabe:

Sei $$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$$ eine stetig differenzierbar Abbildung. Sei $$\epsilon >0$$ und $$\gamma: (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow \mathbb{R}^n$$ eine stetig differenzierbare Kurve, für die gilt $$f \circ \gamma(t)=0$$ für alle $$ t \in (-\epsilon, \epsilon)$$.

Zeigen Sie, dass für das euklidische Skalarprodukt gilt $$gradf(\gamma(0)) * \gamma'(0)=0$$.

Problem/Ansatz:

Comments

Es handelt sich um eine direkte Folge der Kettenregel.

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Also muss ich die Kettenregel anwenden? Oder ist das die angewendete Kettenregel?

Kann mir jemand sagen was ich tun muss ich verzweifele

Answer 1

Betrachte die Funktion

$$h=f\circ \gamma: (-\epsilon,\epsilon)\rightarrow \mathbb R$$

Diese Funktion ist laut Voraussetzung als Verkettung zweier stetig differenzierbarer Funktionen ebenfalls stetig differenzierbar und ebenfalls laut Voraussetzung ist \(h \equiv 0\).

Damit gilt per Kettenregel auf dem gesamten Intervall \((-\epsilon,\epsilon)\)

$$\frac d{dt}h(t) = \operatorname{grad} f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t) = 0$$

Alsso gilt auch insbesondere

$$\operatorname{grad}f(\gamma(0))\cdot \gamma'(0) = 0$$