Es isst ziemlich müsig, dass per Ableitungen ausrechnen zu wollen.
Daher hält man Ausschau, ob man die Funktion auf eine bekannte Potenzreihe zurückführen kann.
Ein Kandidat ist natürlich die geometrische Reihe
$$\frac 1{1-t} = \sum_{n=0}^\infty t^n \text{ für } |t| < 1$$
Wir müssen nur noch deine Funktion so massieren, dass sie so aussieht.
Der Entwicklungspunkt ist (1,1). Also muss die Taylorentwicklung Potenzen von
\(x_1-1\) und \(x_2-1\) enthalten.
Los geht's:
$$\frac 1{x_1+x_2} = \frac 1{2 + (x_1-1)+(x_2-1)}$$
$$= \frac 12 \cdot \frac 1{1 - \left[- \frac 12 \left((x_1-1)+(x_2-1)\right)\right ] }$$
$$\stackrel{\text{geometrische Reihe}}{=}\frac 12\sum_{n=0}^\infty \left[- \frac 12 \left((x_1-1)+(x_2-1)\right)\right ]^n$$
$$\stackrel{\text{binomische Formel}}{=} \boxed{ \frac 12\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom nk (x_1-1)^k(x_2-1)^{n-k} }$$
