Aufgabe:
4.4 (a) Beweisen Sie, dass durch
\( \mathfrak{C}(z):=\frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}} \text { für } z \in \mathbb{H}^{2} \)
eine bijektive Abbildung \( \mathfrak{C}: \mathbb{H}^{2} \rightarrow \mathbb{D}^{2} \) definiert ist.
(b) In \( \mathbb{H}^{2} \) betrachten wir die Punkte \( \mathbf{A}:=2 \mathrm{i}, \mathbf{B}:=2+\mathrm{i} \) und \( \mathbf{S}:=\mathrm{i} \) und setzen
\( \mathbf{A}^{\prime}:=\mathfrak{C}(\mathbf{A}), \quad \mathbf{B}^{\prime}:=\mathfrak{C}(\mathbf{B}) \quad \text { und } \quad \mathbf{S}^{\prime}:=\mathfrak{C}(\mathbf{S}) \)
Bestimmen Sie die Winkelweite des Winkels \( \angle_{\text {ASB }} \) in \( \mathbb{H}^{2} \) und zeigen Sie, dass diese Winkelweite mit der Winkelweite des Winkels \( \angle \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{S}^{\prime} \mathbf{B}^{\prime} \) in \( \mathbb{D}^{2} \) übereinstimmt.
(je 5 Punkte)
Problem/Ansatz:
Aufgabe a ist nur zum Kontext mit abgetippt. Bei Aufgabe b hängen wir etwas bei Winkelweiten. Vom Tutor haben wir für B` folgendes als Lösung, aber irgendwie bekommen wir beim Nachrechnen auf ein anderes Ergebnis.
B'=\( \frac{4-2i}{5} \)
Wir wären für eine Erklärung des Rechenweges dankbar, es handelt sich wahrscheinlich irgendwo um einen relativ kleinen Fehler in unsere Rechnung, weswegen wir nicht weiterkommen.
