Aufgabe:
Die Parabel \( p \) verläuft durch den Scheitel \( S(3 \mid-2,5) \) sowie den Punkt \( P(9 \mid 6,5) \). Sie hat eine Gleichung der Form \( y=a x^{2}+b x+c \) mit \( x, y, b, c \in \mathbb{R} \) sowie \( a \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \). Die Gerade \( g \) hat die Gleichung \( y=0,5 x+0,5 \).
a) Zeige, dass die Parabel \( p \) die Gleichung \( y=0,25 x^{2}-1,5 x-0,25 \) besitzt.
b) Zeichne die Gerade \( g \) und die Parabel \( p \) in das Koordinatensystem.
c) Die Punkte \( A_{n} \) auf der Parabel \( p \) und die Punkte \( D_{n} \) auf der Geraden \( g \) besitzen dieselbe Abszisse \( x \) und bilden für \( x \in \) ]-0,36; 8,36[ die Eckpunkte von Rechtecken \( A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} \). Es gilt stets: \( \left|\overline{A_{n} B_{n}}\right|=2 \) LE. Zeichne das Rechteck \( A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} \) für \( x=1 \) in das Koordinatensystem.
d) Ermittle rechnerisch die Seitenlänge \( \left|\overline{A_{n} D_{n}}\right|(x) \) der Rechtecke \( A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} \) in Abhängigkeit der Abszisse \( x \) der Punkte \( A_{n} \). [Ergebnis: \( \left|\overline{A_{n} D_{n}}\right|(x)=\left(-0,25 x^{2}+2 x+0,75\right) L E \) ]
e) Unter den Rechtecken \( A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} \) gibt es die zwei Quadrate \( A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} \) und \( A_{3} B_{3} C_{3} D_{3} \). Berechne die zugehörigen \( x \)-Werte und gib die Koordinaten der Punkte \( D_{2} \) und \( D_{3} \) an.
f) Bestimme den Flächeninhalt der Rechtecke \( A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} \) in Abhängigkeit von \( x \).
g) Unter den Rechtecken \( A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} \) besitzt das Rechteck \( A_{0} B_{0} C_{0} D_{0} \) den größten Flächeninhalt. Ermittle diesen Flächeninhalt \( A_{\max } \) und zeichne das Rechteck ebenfalls ein.
Problem/Ansatz:
Ich habe von c) bis g) schwiereigkeiten.
