0 Daumen
605 Aufrufe

Hallo :)

Ich soll für eine zahlentheorie aufgabe die letzten 5 Ziffern von 3327 berechnen. Naja ich hätte jetzt schon versucht mit mod 100 000 das ganze aufzulösen allerdings komme ich nicht wirklich auf eine gute Vereinfachung. Ich hätte auch schon versucht das mod 100 000 in 25 und 55 aufzuteilen und über den chinesischen restsatz zu lösen allerdings komme ich da auch nicht besondern weit :/

Irgendwelche Ideen wie es sonst noch klappen könnte?

von

1 Antwort

+1 Daumen

Die Idee mit mod 100000 ist doch schon mal gut. Kein TR wird Dir das Ergebnis mit allen 156 Stellen ausgeben. Mache Dir eine Tabelle, so wie die hier: $$\begin{array}{rrr}n & & 3^n \,^{*)}\\ \hline 327& 8177042329& 26987\\ 163& 8612396809& 90427\\ 81& 829497601& 92803\\ 40& 7123528801& 28801\\ 20& 3486784401& 84401\\ 10& 59049& 59049\\ 5& 81& 243\\ 2& 9& 9\\ 1& & 3\end{array} \\ *) \mod 10^5$$ Oben links steht die 327 darunter jeweils der ganzzahlige Anteil der Hälfte dieser Zahl. Also \(163 = \lfloor 327/2\rfloor\), \(81= \lfloor 163/2\rfloor\) usw. bis die \(1\) erreicht wird. Ganz unten rechts in der Zeile mit der \(1\) schreibst Du die \(3\) hin. In der mittleren Spalte steht jeweils das Quadrat der Zahl aus der dritten Spalte und eine Zeile tiefer. Und in der dritten Spalte wird dieses Quadrat genau dann nochmal mit 3 multipliziert, wenn die Zahl in der ersten Spalte ungerade ist. Anschließend wird in jedem Fall noch \(\mod 100000\) gerechnet.

Rechts oben steht Dein Ergebnis \(3^{327} \equiv 26987 \mod 100000\)

von 37 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community