Hallo,
durch den Kommentar klärt sich einiges:
Es gilt ja
Un⊆Un+1 für
n∈N, wenn
V ein Vektorraum und
(Un)n∈N eine Folge von Unterräumen von
V ist.
Es sind also ineinander verschachtelte Untervektorräume von V. Da die Aussage "für alle n∈N" gilt, bietet sich ein Beweis über vollständige Induktion an.
Starte mit dem Fall n=1. Der ist trivial.
Im Induktionsschritt nimmst du an, dass k=1⋃nUk Untervektorraum von V und willst zeigen, dass auch (k=1⋃nUk)∪Un+1 ein Untervektorraum ist.
Das wird im Prinzip hier gezeigt.