0 Daumen
638 Aufrufe

Aufgabe:

Zeige, dass U=nNUn U=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} U_{n} ein Unterraum von V V ist.


Problem/Ansatz:

Wie kann man diese Aussage beweisen! Mir fällt dazu nur folgendes ein:

Es gilt ja UnUn+1 U_{n} \subseteq U_{n+1} für nN n \in \mathbb{N} , wenn V V ein Vektorraum und (Un)nN \left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} eine Folge von Unterräumen von V V ist.

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

durch den Kommentar klärt sich einiges:

Es gilt ja UnUn+1 U_{n} \subseteq U_{n+1} für nN n \in \mathbb{N} , wenn V V ein Vektorraum und (Un)nN \left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} eine Folge von Unterräumen von V V ist.

Es sind also ineinander verschachtelte Untervektorräume von VV. Da die Aussage "für alle nNn\in \mathbb{N}" gilt, bietet sich ein Beweis über vollständige Induktion an.

Starte mit dem Fall n=1n=1. Der ist trivial.

Im Induktionsschritt nimmst du an, dass k=1nUk\bigcup \limits_{k=1}^{n}U_k Untervektorraum von VV und willst zeigen, dass auch (k=1nUk)Un+1\left(\bigcup \limits_{k=1}^{n}U_k\right)\cup U_{n+1} ein Untervektorraum ist.

Das wird im Prinzip hier gezeigt.

Avatar von 28 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage