Mal oder kartesisches Produkt?

Question

Aufgabe:

Es sei $R=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. Geben Sie $a, b, c \in R$ mit $a \neq 0$ an, für die $a b=a c$ gilt, aber nicht $b=c$.

Problem/Ansatz:

wofür steht $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$  ist das nicht das kartesische Produkt?
also ist ab = a mal b

oder a kartesisches Produkt b ?

Beispiel wenn ab = a mal b

$\begin{array}{l}a=(0,1) \\b=(12,8) \\c=(13,8)\end{array}$

$a b=(0,1)(12,8)=(0,8)$
$a c=(0,1)(13,8)=(0,8)$
$a b=a c$ aber $b \neq c$

Answer 1

$a,b,c\in R$ bedeutet, dass es ganze Zahlen

$a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ gibt mit

$a=(a_1,a_2), b=(b_1,b_2), c=(c_1,c_2)$.

$ab$ ist dann $(a_1,a_2)\cdot (b_1,b_2):=(a_1b_1,a_2b_2)$.

Dein Beispiel ist also OK!