Graphische Darstellung von Hyperbeln

Question

Kapital 500 CHF bringt zu p% in n Jahren 40 CHF Zins.

Abhängigkeit zwischen n und p durch eine Kurve darstellen.



Welche Formel muss ich anwenden?

Besten Dank für die Hilfe

Problem/Ansatz Durch die Zinseszins - Formel bekomme ich eine Parabel im 1. Quadrant. Wir bearbeiten aber das Thema: Graphische Darstellung von Hyperbeln.

Answer 1

"...bringt zu p% in n Jahren 40 CHF Zins."

kann man ja auch so verstehen: Im Laufe der n Jahre werden

(insgesamt) 40 CHF Zinsen ausgezahlt.

Kann wäre die Formel \(  z=\frac{k \cdot n \cdot p}{100}   \)

Also  \(  n=\frac{8}{p}  \)  und der Graph ist wirklich eine

Hyperbel und sieht so aus:

~plot~ 8/x ~plot~

Comments

ich würde hier nur den ersten Quadranten betrachten.

Answer 2

Der Graph ist nicht exakt eine Hyperbel.

Es gilt

$$500\left(1+\frac p{100}\right)^n = 540 \Leftrightarrow n= \frac {27}{25}\cdot \frac 1{\ln\left(1+\frac p{100}\right)}$$

Nun gilt aber für \(|x|<<1\): \(\ln(1+x) \approx x\).

Damit ergibt sich mit \(x= \frac p{100}\)

$$n\approx \frac {27}{25}\cdot \frac 1{\frac p{100}} = \frac {108}p$$

Das ist eine Hyperbel und dass das eine sehr gute Näherung für kleine \(p\) ist, kannst du hier sehen. Schalte einfach den Graph von g im Bild an und aus.

Comments

Zwei Fragen bei es gilt

Könnte es heissen: 540 = 500 (1+.....)^n

Ich kann die Formel n= 2/25*1/...,..   = 8/p nicht verstehen.

Vielen Dank für die Hilfe

---

Ups. Stimmt. Da muss 540 hin.
Ich passe die Lösung entsprechend an. Danke für den Hinweis.

---

Habe die Lösung und das Desmos-Ding angepasst.

Um die Gleichung für eine Hyperbel zu erhalten, wird der Ausdruck \(\ln \left(1+\frac p{100}\right)\) durch \(\frac p{100}\) ersetzt. Für kleine Werte von \(\frac p{100}\) stellt das eine bekannte gute Näherung für den Logarithmus dar.

---

Vielen Dank für die Anpassungen

Answer 3

Ausgehend von 540=500(1+\( \frac{p}{100} \))ⁿ ergibt sich diese Kurve für die Abhängigkeit zwischen n und p: