Zeigen Sie dass \lim n → ∞ nk qn=0 für |q|< 1

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Zeigen Sie nun dass $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n^{k} q^{n}=0$ für $|q|<1, k \in \mathbb{N}^{*}$

Comments

Zeigen sie NUN: Ist immer schlecht wenn man nicht weiß, auf welcher Aussage aufbauend die Aufgabe zu lösen ist.

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Ansonsten: Hattet ihr l'Hopital?

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Die Aufgabenteile davor haben nichts damit zu tun , dass nun ist unwichtig. Bräuchte lediglich Hilfe für diesen Teil weiß nicht wie ich das lösen soll.

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deswegen frage ich, ob ihr l'Hopital hattet

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@ Cio Aber die Formulierung der Aufgabe lässt vermuten, dass man die vorigen Aufgabenteile dafür nutzen sollte/kann, um diese Behauptung zu zeigen.

Answer 1

Hallo :-)

Mal unabhängig von deinem Wissen kann ich mittels des Binomischen Lehrsatzes die Behauptung zeigen, indem ich den Ausdruck $a_n=n^k\cdot q^n$ geeignet abschätze. Für $q=0$ ist die Aussage klar.

Es reicht sogar nur $q'\in]0,1[$ zu betrachten, also $|a_n|=n^k\cdot q'^n$. Man kann sich leicht mit der Definition zur Konvergenz die folgende Äquivalenz herleiten :$$\lim |a_n|=0\Leftrightarrow \lim a_n=0.$$

Seien also $q'\in]0,1[$ und $k\in \N$ beliebig, aber fest gewählt. Setze $\tilde{q}:=\frac{1}{q'}$. Dann gilt $\tilde{q}\in ]1,\infty[$. Weiter gilt auch $\tilde{q}=1+q_r$ für ein $q_r\in ]0, \infty[$.

Betrachte für $n\geq k+1$ mit dem Binomischen Lehrsatz folgendes:

$$\tilde{q}^n=(1+q_r)^n=\sum\limits_{j=0}^n {{n}\choose{j}}\cdot 1^{n-j}\cdot q_r^j=\sum\limits_{j=0}^n {{n}\choose{j}}\cdot q_r^j\geq \sum\limits_{j=0}^{k+1} {{n}\choose{j}}\cdot q_r^j>{{n}\choose{k+1}}\cdot q_r^{k+1}\\=\frac{n!}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!}\cdot q_r^{k+1}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k)\cdot (n-k-1)!}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!}\cdot q_r^{k+1}\\=\frac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k)}{(k+1)!}\cdot q_r^{k+1}\geq \frac{(n-k)^{k+1}}{(k+1)!}\cdot q_r^{k+1}.$$

Damit hat man für alle $n\in \N_{\geq k+1}$ die Abschätzungskette

$$0\leq n^k\cdot q'^n=\frac{n^k}{(1+q_r)^n}\leq \frac{(k+1)!}{(n-k)^{k+1}}\cdot \frac{1}{q_r^{k+1}}\cdot n^k=\frac{(k+1)!}{q_r^{k+1}}\cdot \frac{1}{n-k}\cdot \left(\frac{n}{n-k}\right)^k\\\stackrel{(*)}{\leq} \frac{(k+1)!}{q_r^{k+1}}\cdot \frac{1}{n-k}\cdot \left(\frac{k+1}{k+1-k}\right)^k=\frac{(k+1)!\cdot(k+1)^k}{q_r^{k+1}}\cdot \frac{1}{n-k}\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$$

(*) Die Folge $\left(\frac{n}{n-k}\right)_{n\in \N_{\geq k+1}}$ ist monoton fallend.