Begründe: Wenn D die Diagonalmatrix zu A ist, so ist \lim _{n → ∞} D^{n} eine Matrix M , sodass M nur an einer …

Question

Aufgabe:

Begründe: Wenn \( D \) die Diagonalmatrix zu \( A \) ist, so ist \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} D^{n} \) eine Matrix \( M \), sodass \( M \) nur an einer Stelle 1 und sonst überall 0 .

Matrix D =

	A₁	A₂	A₃
1	1	0	0
2	0	0.5	0
3	0	0	0.1

Matrix A =

	A₁	A₂	A₃
1	0.6	0.1	0.1
2	0.2	0.5	0.4
3	0.2	0.4	0.5

Problem/Ansatz:

Wie kann man begründen, dass nur an einer Stelle 1 stehen bleibt und an den anderen 0 rauskommt, wenn man D^n nimmt?

Answer 1

Für das Produkt zweier Diagonalmatrizen

\(D_1=diag(a_1,b_1,c_1)\) und \(D_2=diag(a_2,b_2,c_2)\) gilt

\(D_1\cdot D_2=diag(a_1a_2,b_1b_2,c_1c_2)\).

Daraus folgt \(D^n=diag(1^n,(0,5)^n,(0,1)^n)\).

Wegen \(1^n\rightarrow 1,\;(0,5)^n\rightarrow 0,\; (0,1)^n\rightarrow 0\) für \(n\rightarrow\infty\)

folgt die Behauptung.

Answer 2

Matrixpotenzen einer Diagonalmatrix Dⁿ führen zu Potenzen der Diagonalelemente d_iiⁿ d.h.

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} D^{n} =  \lim \limits_{n \rightarrow \infty} d_{ii}^{n}  \)