zeige das aus A diagonalisierbar ad A diagonalisierbar folgt, mittels der Basis

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ist $\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}$ eine Basis von $V$ aus Eigenvektoren für $A$, so wird durch
$F_{i j} v_{k}=\delta_{j k} v_{i}$
eine Basis $\left\{F_{i j} \mid i, j=1, \ldots, n\right\}$ von $\mathbb{K}^{n \times n}$ aus Eigenvektoren für ad $A$ gegeben. Schließen Sie daraus, dass ad $A$ diagonalisierbar ist, wenn $A$ es ist.

Problem/Ansatz:

Ich hab bereits gezeigt das aus A=nilpotent auch ad(A)=nilpotent folgt.

Diagonalisierbarkeit zeig ich ja indem ich zeige das die geometrischen Vielfachheiten = algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte. Aber wie mach ich das jetzt, wo es um die allgemeine Matrix A $$\in$$K^nxn