Zeigen Sie: Für jedes m ∈ ℕ ist Am u=\lambdam u .

Question

Aufgabe:

Sei $A$ eine $(n \times n)$-Matrix und sei $u$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$. Zeigen Sie: Für jedes $m \in \mathbb{N}$ ist $A^{m} u=\lambda^{m} u$.

Answer 1

Beweis durch Induktion:

Ind.Anfang: $m=1$: $Au=\lambda u$ nach Definition von

$\lambda$ und $u$.

Ind.Voraussetzung: Sei für $m\in\mathbb{N}$

$A^mu=\lambda^m u$.

Ind.Schritt:

$A^{m+1}u=A(A^m u)\stackrel {IV}{=}A(\lambda^m u)=\lambda^m\cdot Au=\lambda^m\cdot \lambda u=\lambda^{m+1}u$