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Sei x x x eine reelle Zahl, sodass cos(x)=−1 \cos (x)=-1 cos(x)=−1. Was ist sin(1+x) \sin (1+x) sin(1+x) ?1. sin(1) \sin (1) sin(1)2. −sin(1) -\sin (1) −sin(1)3. sin(x) \sin (x) sin(x)4. −sin(x) -\sin (x) −sin(x)5. Keine der anderen Antworten trifft zu.
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Sinus-Additionstheorem
Aloha :)
Wegen cos(x)=−1\cos(x)=-1cos(x)=−1, muss xxx ein ungerades Vielfaches von π\piπ sein:cos(x)=−1 ⟹ x=π⋅(2Z−1)=2Zπ−π ⟹ \cos(x)=-1\implies x=\pi\cdot(2\mathbb Z-1)=2\mathbb Z\pi-\pi\quad\impliescos(x)=−1⟹x=π⋅(2Z−1)=2Zπ−π⟹sin(1+x)=sin(1+2Zπ−π)=sin(1−π)=−sin(1)\sin(1+x)=\sin(1+2\mathbb Z\pi-\pi)=\sin(1-\pi)=-\sin(1)sin(1+x)=sin(1+2Zπ−π)=sin(1−π)=−sin(1)
Additionstheorem für den Sinussin(a ± b) = sin(a)·cos(b) ± cos(a)·sin(b)
Additionstheorem für den Sinus
sin(a ± b) = sin(a)·cos(b) ± cos(a)·sin(b)
Also
sin(1 + x) = sin(1)·cos(x) + cos(1)·sin(x) = sin(1)·(- 1) + cos(1)·0 = - sin(1)
Wenn cos(x) = -1 dann sin(x) = 0 und sin(1 + x) = - sin(1).
Der cos wird -1 bei pi + k*2pi -> x= pi+2*k*pi, k ∈ℤ
-1 entspricht 180°/ -180° am Einheitskreis.
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