Welche der folgenden Funktionen besitzt ein Maximum?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Funktionen besitzt ein Maximum? Uberlegen Sie sich eine geeignete Begründung, auch wenn Sie sie hier nicht aufschreiben müssen.

1. \( f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{x} \)

2. \( f:(-2,4) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=5-x^{2} \)

3. \( f:[-4,10] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\exp (x)+\cos (x)^{3} \)

4. \( f:(5,8) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\sqrt{\exp (x)}+x^{3} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Als Begründung könnte man recht gut das Monotonieverhalten der Funktion bez. der einzelnen Summanden heranziehen.

y = 1/x ist z.B. auf dem Intervall (0, 1) streng monoton fallend und hat damit kein Maximum

y = 5 - x^2 ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel bei x = 0 und hat damit ein Maximum bei x = 0

y = exp(x) + cos(x)^3

Bemerkung: exp(x) ist streng mononon steigend und steigt für große Werte von x wesentlich stärker als cos(x)^3 fallen könnte und hat damit das Maximum bei x = 10

y = √exp(x) + x^3 ist auf dem Intervall (5, 8) streng monoton steigend und hat damit kein Maximum.

Answer 2

1. \( f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{x} \) hat keins

2. \( f:(-2,4) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=5-x^{2} \) max bei x=0

3. \( f:[-4,10] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\exp (x)+\cos (x)^{3} \) max bei x=10

4. \( f:(5,8) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\sqrt{\exp (x)}+x^{3} \) hat keins

Comments

Bei 3) ist die Syntax nicht ganz eindeutig:

~plot~ exp(x)+cos(x^3) ;exp(x)+(cos(x))^3 ~plot~

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Der Plotter und auch Wolframalpha haben damit keine Schwierigkeiten.

~plot~ cos(x)^3;cos(x^3) ~plot~

Schwierigkeiten gäbe es doch eigentlich nur, wenn dort cos x^3 ohne Klammer stehen würde. Daher würde ich das zumindest immer vermeiden. Die meisten Programme die ich kenne interpretieren

cos(x)^3 als cos^3(x)