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Aufgabe:

(i)

Es seien A,B kompakt.Man zeige,dass                  A + B := { a + b: a ∈ A, b ∈ B} kompakt ist.


Problem:

hab das Thema nicht so verstanden,wäre sehr nett wenn jemand aufzeigen würde,wie man das zeigt

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Sind \(A,\; B\subseteq \mathbb{R}^n\) ?

Das solltest du uns schon mitteilen, weil sonst nicht

klar ist, was a+b bedeuten soll.

Das ist das einzige ,was in der Aufgabe steht

Aber gehen wir mal davon aus

Vermutlich steht das auf dem Aufgabenzettel irgendwo

vor dem eigentlichen Aufgabentext, ansonsten dem

Aufgabensteller eine Rüge erteilen ;-)

A2D2CC79-5E6D-4D60-A879-DFF1D7794398.jpeg

Text erkannt:

Aufgabe \( 04(2+2 \) P.)
(i) Es seien \( A, B \) kompakt. Man zeige, dass \( A+B:=\{a+b: a \in A, b \in B\} \) kompakt ist.
(ii) Sei \( \left(K_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge nichtleerer kompakter Mengen mit \( K_{n+1} \subset K_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Man zeige, dass \( K:=\bigcap_{n=1}^{\infty} K_{n} \neq \varnothing \)
Hinweis: Verwenden Sie, dass Kompaktheit äquivalent zur Folgenkompaktheit ist.

Hier,genau so steht es drauf

Und steht auf dem Aufgabenzettel nichts davor?

Zum Beispiel, um welchen metrischen Raum es geht?

Wovon die Mengen Teilmengen sein sollen?

Nein,nichts:)

Sind A, B kompakt in G, dann ist

AxB kompakt in GxG nach Tychonoff

Die Stetigkeit der Abbildung

+ : G x G → G

liefert dann unmittelbar die Behauptung.

(Gilt für alle topologische Gruppen (G,+))

Also wie schreibe ich das dann auf ?

Kennst du denn den Satz von Tychonoff ?

Nein.Also wie würde die Lösung zu der Aufgabe aussehen? :))

Habe eine Lösung als Antwort geschrieben.

Danke dir Jetzt ist es verständlich :)

1 Antwort

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Beste Antwort

Beweis mit Hilfe der Folgenkompaktheit:

Sei \((a_n+b_n)\) eine Folge mit \(a_n\in A\) und \(b_n\in B\).

Ich zeige, dass diese Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

Da \(A\) folgenkompakt ist, gibt es eine in \(A\) konvergente Teilfolge

von \((a_n)\), d.h. es gibt eine streng monoton wachsende Abbildung

\(i:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) mit \((a_{i(n)})\) konvergent gegen ein \(a\in A\).

\((b_{i(n)})\) ist eine Folge in \(B\), die wegen der Folgenkompaktheit

von \(B\) eine konvergente Teilfolge \((b_{k(i(n))})\) mit einem in \(B\)

liegenden Limes \(b\) besitzt, wobei wieder \(k:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\)

eine streng monoton wachsende Abbildung ist.

Nun ist \((a_{k(i(n))})\) eine Teilfolge von \((a_{i(n)})\) und

da letztere gegen \(a\) konvergiert, konvergiert auch diese Teilfolge

gegen \(a\in A\). Nach dem Limes-Satz für Summen konvergenter Folgen,

ist dann \((a_{k(i(n))}+b_{k(i(n))})\) konvergent gegen \(a+b\),

q.e.d.

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