Berechnen Sie, nach welcher Zeit sich der Sand wieder vollständig in der unteren Hälfte des Glases befindet.

Question

Nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers, der das Glas einer Sanduhr darstellt.
Es gilt:
\( \begin{array}{l} |\overline{M C}|=|\overline{M E}|=|\overline{M D}|=r=10 \mathrm{~mm} ;|\overline{A G}|=2 \mathrm{~mm} ; \\ \angle F B A=59^{\circ} ; \overline{B C}\|\overline{E F} ; \overline{A G}\| \overline{B F} \end{array} \)
Die beiden Hälften des Glases sind jeweils \( 50 \mathrm{~mm} \) hoch. Die untere Hälfte ist bis zur Füllinie BF mit Sand gefült.
Wird die Sanduhr umgedreht, rieseln pro Sekunde durchschnittlich \( 50 \mathrm{~mm}^{3} \) des Sandes von der oberen in die untere Hälfte des Glases.

Berechnen Sie, nach welcher Zeit sich der Sand wieder vollständig in der unteren Hälfte des Glases befindet.
Runden Sie auf Ganze.
[Zwischenergebnis: \( |\overline{\mathrm{BC}}|=25 \mathrm{~mm}] \)

Answer 1

Teile das Volumen des Sandes durch \(50\,\frac{\mathrm{mm}^3}{\mathrm{s}}\).

Comments

warum durch 50?

kannst du es schriftlich erklären?

---

\(\frac{\text{Strecke}}{\text{Geschwindigkeit}} = \frac{\text{Strecke}}{\text{Strecke}/\text{Zeit}} = \text{Zeit}\)   laut Bruchrechenregeln.

Das funktioniert nicht nur bei Geschwindigkeit, sondern auch bei anderen Änderungsraten.

\(\frac{\text{Volumen}}{\text{Volumen}/\text{Zeit}} = \text{Zeit}\)

---

sehr gut danke

Answer 2

Strecke BC berechnen

TAN(59°) = x/9 --> x = 14.98

BC = 50 - 10 - 14.98 = 25.02 mm

Volumen des Sandes berechnen

V = 1/2·4/3·pi·10^3 + pi·10^2·25.02 = 9955 mm³

Durchlaufzeit berechnen

t = 9955 / 50 = 199.1 s = 3 Minuten 19 Sekunden

Comments

perfekt vielen dank

---

Wie bist du auf das Volumen gekommen?

---

Das Volumen setzt sich aus einer Halbkugel und einem Zylinder zusammen. Kannst du eine Halbkugel (Hälfte einer ganzen Kugel) und ein Zylinder berechnen?