Funktion im Punkt 1 stetig und differenzierbar

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, ob die folgende Funktion f im Punkt 1 stetig und differenzierbar ist:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1 & \text { für } x \leq 1 \\ \ln (x)+x+1 & \text { für } x>1\end{array}\right.$

Answer 1

Aloha :)

Wir prüfen zuerst die Differnzierbarkeit von $f(x)$ an der Stelle $x_0=1$, weil aus der Differenzierbarkeit automatisch die Stetigkeit folgt und wir uns dann einen Schritt gespart hätten.

Dazu prüfen wir, ob der Grenzwert des Differenzenquotienten exisitert:$$f'(1)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\stackrel{?}{=}\text{eindeutiger Wert}$$

Von rechts her kommend $(x>1)$ erhalten wir den rechtsseitigen Grenzwert unter Verwendung der Regel von L'Hospital ($\ast$):$$f'_+(1)=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{(\ln(x)+x+1)-2}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{\ln(x)+x-1}{x-1}\stackrel{(\ast)}{=}\lim\limits_{x\searrow1}\frac{\frac1x+1}{1}=2$$Der linksseitige Grenzwert für $x<1$ ist simpler zu bestimmen:$$f'_(1)=\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{(x^2+1)-2}{x-1}=\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\nearrow1}(x+1)=2$$

Damit ist der Grenzwert des Differenzenquotienten eindeutig bestimmt und die Funktion damit differenzierbar an der Stelle $x_0=1$, konkret gilt:$\;\;f'(1)=2$.

Insbesondere ist dann $f$ an der Stelle $x_0=1$ auch stetig.

Answer 2

Ja. Die Funktion ist an der Stelle 1 stetig und differenzirebar da

f(1) = lim (x → 1⁺) f(x) = 2

f'(1) = lim (x → 1⁺) f'(x) = 2