Integralsatz von Gauß, Halbkugel in Polarkoodinaten

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgendes Vektorfeld im R3

v(x)= (x² y, y² x, z²)

Berechnen Sie

[F] Integral ( v * dF) wobei F die Oberflache der Halbkugel z = Sqrt(1-x²-y²) bezeichnet, mit und ohne (mit
Kugelkoordinaten) Gaußschem Integralsatz.

Problem/Ansatz:

Wie man die Oberfläche und das Volumen der Halbkugel mit Polarkoordinaten berechnet ist mir klar. Wenn ich den Gaußschen Integralsatz richtig verstanden habe muss ich div(v) über das Volumen der Halbkugel integrien ist das richtig?
Ich habe hier jedoch probleme mit den Koordinaten. Ich hätte jetzt die divergenz noch in x,y,z Koordinaten gerechnet und dann die Polarkoordinaten eigesetzt und integriert. Jedoch kommt mir da beim ersten integral schon 0 heraus... (wegen sin(0) und sin(pi))

Danke schonmal für die Hilfe! LG, lost

Comments

Hallo

Ohne deine Rechnung zu sehen kann man nichts genaues sagen, einfach die div kartesisch zu rechnen und das Ergebnis in Polarkoordinaten zu schreiben ist nicht richtig. also zuerst Kugelkoordinaten, dann div usw.

Gruß lul

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Diesen Kommentar halte ich für irreführend. Man kann zunächst das Volumenintegral kartesisch aufstellen und dann zu anderen Koordinaten übergehen.

Answer 1

Aloha :)

Mit Hilfe des Gauß'schen Integralsatzes $(dV\cdot\vec\nabla=d\vec f)$ kannst du ein Integral über eine geschlossene(!) Oberfläche auf das Integral über das von dieser Fläche eingeschlossene Volumen zurückführen und umgekehrt.

Wir sollen hier den Fluss eines Vektorfeld $\vec v(x;y;z)$ durch die Oberfläche einer Halbkugel berechnen:$$\vec v(x;y;z)=\begin{pmatrix}x^2y\\y^2x\\z^2\end{pmatrix}\quad;\quad F=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\big|z=\sqrt{1-x^2-y^2}\}$$Die Menge $F$ ist nur für $x\in[-1;1]$ und $y\in[-1;1]$ definiert. Sie beschreibt die Mantelfläche der oberen Hälfte einer Kugel mit Radius $1$.

Gemäß des Gauß'schen Satzes gilt:

$$\phi=\oint\limits_{F}\vec v\,d\vec f=\oint\limits_{F}d\vec f\,\vec v=\int\limits_{V(F)}dV\cdot\vec\nabla\vec v=\int\limits_{V(F)}\operatorname{div}\vec v\,dV$$

Für seine Anwendung brauchen wir also die Divergenz des Vektorfeldes und eine Parametrisierung der Halbkugel. Für letzteres bieten sich Kugelkoordinaten an:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\sin\vartheta\cos\varphi\\r\sin\vartheta\sin\varphi\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in\left[0;\frac\pi2\right]$$Das Volumenelement in Kugelkoordinaten ist mathematische Allgemeinbildung:$$dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$Für die Divergenz von $\vec v$ in Kugelkoordinaten erhalten wir:$$\operatorname{div}\vec v=2xy+2yx+2z=4xy+2z=4r^2\sin^2\vartheta\sin\varphi\cos\varphi+2r\cos\vartheta$$

Für das zu berechnende Integral heißt das:$$\phi=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\underbrace{\left(4r^2\sin^2\vartheta\sin\varphi\cos\varphi+2r\cos\vartheta\right)}_{=\operatorname{div}\vec v}\cdot\underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}$$$$\phantom\phi=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}2r^4\sin^3\vartheta\sin(2\varphi)\,dr\,d\varphi\,d\vartheta+\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}r^3\sin(2\vartheta)\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$

$$\phantom\phi=2\int\limits_{r=0}^1r^4\,dr\underbrace{\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sin(2\varphi)\,d\varphi}_{=0}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\sin^3\vartheta\,d\vartheta+\underbrace{\int\limits_{r=0}^1r^3\,dr}_{=\frac14}\underbrace{\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi}_{=2\pi}\underbrace{\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\sin(2\vartheta)\,d\vartheta}_{=1}=\frac\pi2$$