Bestimmen Sie ihren Grenzwert ( a_{1}=3, a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}

Question

Text erkannt:

Die rekursiv definierte Folge
\( a_{1}=3, a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}} \)
konvergiert. Bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Sei \(a\) der Grenzwert. Dann gilt

\(a=\lim a_{n+1}=\sqrt{2+\lim a_n}=\sqrt{2+a}\iff \)

\(0=a^2-a-2=(a-2)(a+1)\).

Da die Wurzel nicht negativ sein kann,

folgt \(a=\lim a_n=2\).