Berechnung von Mehrfachintegralen

Question

Frage: Wie fange ich hier am besten an? Wie finde ich die Grenzen fürs Integral?

Aufgabe: Berechnen Sie das Integral
\( \iint_{B} 8 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, \)
wobei
\( B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid\left(x+1 \geq y^{2}\right) \wedge(y \leq 5-x) \wedge(x \leq 2 y+2)\right\} . \)

Comments

Skizze machen:

Dann musst du dich entscheiden ob du im äußeren Integral über x oder y integrieren willst. Ich wähle hier y, da man so nur 2 Teilintegrale enthält. Also schreibt man mal hin:

$$ \iint_B f(x,y) ~\textrm dA = \int_{-1}^2 \int_{u(y)}^{o(y)} f(x,y) ~\textrm dx \textrm dy $$

Jetzt muss man noch die Grenzen für das x-Integral bestimmen. Dazu formst du die Ungleichungen am besten in die Form:

$$ x \le ... \quad \text{oder}\quad ...\le x $$

um. Ungleichungen erster Form liefern dir obere Grenzen, Ungleichungen zweiter Form untere Grenzen. Man findet

$$ u(y) = y^2 - 1 $$ $$ o(y) = \begin{cases} 2y+2 & y \le 1\\5-y & y \ge 1\end{cases} $$

Also

$$ \iint_B f(x,y) ~\textrm dA = \int_{-1}^1 \int_{y^2-1}^{2y+2} f(x,y) ~\textrm dx \textrm dy + \int_{1}^2 \int_{y^2-1}^{5-y} f(x,y) ~\textrm dx \textrm dy $$ 

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Woher weißt du, dass y von -1 bis 2 geht oder dass bei der oberen Grenze y≤1 oder y≥1 ist.

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Habe ich aus der Skizze abgelesen. Man könnte die Werte aber auch errechnen, wenn man die y-Koordinaten der Schnittpunkte der Randkurven berechnet. Ggf. erhält man dabei mehrere. Dann muss man sich jeweils noch überlegen welches die richtigen sind.