Berechnen Sie den Flächeninhalt des Integrals.

Question

Guten Morgen,
bei folgender Aufgabe komme ich nicht zur Lösung bzw. kann sie nicht berechnen. Kann mir bitte jemand helfen und eine Lösungsmöglichkeit mitteilen?

Ein Grundbereich $\Omega$ wird in der $x y$ - Ebene durch die Kurven
$x=1, \quad y=\frac{1}{x^{2}}, \quad y=\frac{x}{8}$
begrenzt.
a) Skizzieren Sie die Kurven maßstäblich, bestimmen Sie die Schnittpunkte der Kurven und kennzeichnen Sie den Bereich durch Schraffieren.
b) Durch welches Einfachintegral wird der Flächeninhalt von $\Omega$ beschrieben? Das Integral muss nicht berechnet werden.
c) Durch welches Doppelintegral wird der Flächeninhalt von $\Omega$ beschrieben? Das Integral muss nicht berechnet werden.
d) Berechnen Sie den Flächeninhalt von $\Omega$ mit dem Doppelintegral aus dem Aufgabenteil c).

Vielen Dank!
Schöne Grüße
Vera

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir stellen uns die Situation graphisch dar:

Plotlux öffnen

x = 1f₁(x) = 1/x²f₂(x) = x/8Zoom: x(0…3) y(-0,2…1,2)

Es geht um die Berechnug der Fläche in dem blau-rot-grünem "Dreieck".

zu b) Allgemein erhältst du die Fläche zwischen 2 Funktionen $f(x)=\frac{1}{x^2}$ und $g(x)=\frac x8$ indem du über den Betrag der Differenz beider Funktionen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integrierst.

Die Betragszeichen konnten wir weglassen, da aus der Skizze klar ist, dass $f(x)=\frac{1}{x^2}$ oberhalb von $g(x)=\frac x8$ verläuft. Die linke Grenze ist kein Schnittpunkt, sondern durch die Aufgabenstellung bei $x=1$ festgelegt. Die rechte Grenze ermitteln wir nun als Schnittpunkt der beiden Kurven:$$f(x)=g(x)\implies\frac{1}{x^2}=\frac x8\implies x^3=8\implies x=2$$Das führt uns auf das gesuchte Integral::$$F=\int\limits_1^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac x8\right)\,dx$$

zu c) Wir können die "Dreieck"-Fläche abtasten, indem wir zunächst ein $x\in[1;2]$ wählen und dann fest halten. Für dieses $x$ ist dann $y$ nach unten durch $y\ge\frac x8$ beschränkt und nach oben durch $y\le\frac{1}{x^2}$. Das führt zu dem Integral:$$F=\int\limits_{x=1}^2\;\,\int\limits_{y=\frac x8}^{\frac{1}{x^2}}\,dy\,dx$$

zu d) Bei der Berechnung des Doppelintegrals sollte nach der Integration über $dy$ als Zwischenschritt das Integral von Teil (b) herauskommen. Mal sehen, ob das stimmt:

$$F=\int\limits_{x=1}^2\left[y\right]_{y=\frac x8}^{\frac{1}{x^2}}\,dx=\int\limits_{x=1}^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac x8\right)dx=\left[-\frac 1x-\frac{x^2}{16}\right]_1^2=\left[\frac 1x+\frac{x^2}{16}\right]_2^1=\frac{5}{16}$$

Comments

Vielen lieben Dank für die Lösung und die Zwischenschritte, ich habe dadurch die Aufgabe verstanden :)

Answer 2

Hast du gar keinen eigenen Ansatz ?

Gib doch wenigstens mal die Zeichnung und / oder die gefragten Schnittpunkte an.

Mittels eines Einfachintegrals kann man etwa so vorgehen:

A(Ω) = $\int\limits_{1}^{2}$ (y₁(x) - y₂(x)) dx

Als Doppelintegral gibt es mehr als eine Möglichkeit.

Übrigens: Gesucht ist nicht der Flächeninhalt eines Integrals, sondern Wege zur Berechnung des Flächeninhalts eines ebenen Gebietes  Ω  durch Integrale.

Answer 3

a) grau unterlegt statt schraffiert: