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Ein Flächenstück A wird durch die Kurven x=0, y=0 und y=-0,5x +1 berandet. (ein Dreieck im ersten Quadranten). Die Integrandenfunktion ist f(x,y)=x2y. Berechnen Sie ∫∫f(x,y)dA auf zwei verschiedene Arten, indem Sie

a) erst nach y und dann nach x integrieren

b) zuerst nach x und dann nach y integrieren.


Kann mir jemand bei dieser Aufgabe sagen, was jeweils meine Intervallgrenzen sind?Also jeweils bei a) und b)

Das hab ich in der Vorlesung leider nicht verstanden.


Vielen Dank im Voraus!!

von

Es sind übrigens nicht "Deine" Intervallgrenzen, sondern die der Fläche.

Dein Titel ist irreführend. Man berechnet nicht den Flächeninhalt.

2 Antworten

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Aloha :)

Die Integrationsgrenzen sind gegeben durch:$$y\in\left[0\,\left|\;-\frac{1}{2}x+1\right.\right]\quad;\quad x\in[0\,|\,2]$$Dabei hängt \(y\) von \(x\) ab, d.h. wenn wir nach \(y\) integrieren, taucht in den Integrationsgrenzen \(x\) auf. Daher muss man zuerst nach \(y\) und dann nach \(x\) integrieren:

$$I=\int\limits_0^2dx\int\limits_0^{-\frac{1}{2}x+1}dy\,x^2y=\int\limits_0^2dx\, x^2\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{-\frac{1}{2}x+1}=\int\limits_0^2dx\,\frac{x^2}{2}\left(-\frac{1}{2}x+1\right)^2$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^2dx\,\frac{x^2}{2}\left(\frac{x^2}{4}-x+1\right)=\frac{1}{2}\int\limits_0^2\left(\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{x^5}{20}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right]_0^2$$$$\phantom{I}=\frac{1}{2}\left(\frac{96}{60}-\frac{240}{60}+\frac{160}{60}\right)=\frac{2}{15}$$

Die Integrationsgrenzen kann man auch wie folgt ausdrücken:$$y\in[0\,|\,1]\quad;\quad x\in\left[0\,\left|\,2-2y\right.\right]$$Jetzt hängt \(x\) von \(y\) ab, sodass wir zuerst nach \(x\) und danach nach \(y\) integrieren müssen:

$$I=\int\limits_0^1dy\int\limits_0^{2-2y}dx\,x^2y=\int\limits_0^1dy\,y\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{2-2y}=\int\limits_0^1dy\,\frac{y}{3}\left(2-2y\right)^3$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dy\,\frac{y}{3}\left(-8y^3+24y^2-24y+8\right)=\frac{1}{3}\int\limits_0^1dy\left(-8y^4+24y^3-24y^2+8y\right)$$$$\phantom{I}=\frac{1}{3}\left[-\frac{8y^5}{5}+6y^4-8y^3+4y^2\right]_0^1=\frac{1}{3}\left(-\frac{8}{5}+2\right)=\frac{2}{15}$$

von 39 k
0 Daumen

Die Intervallgrenzen kannst Du ablesen an der Geradengleichung: x: [0, 2], y: [0, -1/2x +1] wenn man zuerst dy und dann dy integriert, bzw. umgekehrt x: [0, 2-2y], y[0, 1] wenn man zuerst dx und dann dy integriert.

von 7,7 k

Das Doppelintegral ist das unter der linken Hälfte von dieser Fläche, nämlich 2/15

Unbenannt.PNG

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