Berechnen Sie über dem Dreieck mit den Eckpunkten das Volumen unter der Bildfläche der durch f gegebenen Funktion.

Question

Guten Abend,
bei der folgenden Aufgabe habe ich Schwierigkeiten. Ich habe eine Freundin gefragt, ob sie mir behilflich sein kann, jedoch hat sie auch keine Lösung. Kann mir bitte jemand helfen und eine Lösungsmöglichkeit mitteilen?

Berechnen Sie über dem Dreieck mit den Eckpunkten $(0 ; 0),(3 ; 3),(6 ; 0)$ das Volumen unter der Bildfläche der durch $z=f(x ; y)=x y$ gegebenen Funktion.

Vielen Dank im Voraus!
Ganz liebe Grüße
Vera

Answer 1

Aloha :)

Das Integrationsgebiet ist ein Dreieck, es sieht so aus:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x·(x>=0)·(x<=3)f₂(x) = (6-x)·(x>=3)·(x<=6)Zoom: x(-1…7) y(-1…4)

Wir stellen fest, dass wir zunächst $y\in[0;3]$ frei wählen können. Haben wir ein $y$ gewählt und halten es dann fest, sind die zugehörigen $x$ Werte nach links durch die Funktion $y_\ell=x$ und nach rechts durch die Funktion $y_r=6-x$ beschränkt: $x\in[y;6-y]$.

Das gesuchte Volumen wird also durch folgendes Integral beschrieben:$$V=\int\limits_{y=0}^3\,\int\limits_{x=y}^{6-y}xy\,dx\,dy=\int\limits_{y=0}^3\left[\frac{x^2}{2}\,y\right]_{x=y}^{6-y}dy=\int\limits_{y=0}^3\left(\frac{(6-y)^2}{2}\,y-\frac{y^3}{2}\right)dy$$$$\phantom V=\int\limits_{y=0}^3\left(\frac{36y-12y^2+y^3}{2}-\frac{y^3}{2}\right)dy=\int\limits_{y=0}^3\left(18y-6y^2\right)dy$$$$\phantom V=\left[9y^2-2y^3\right]_{y=0}^3=81-54=27$$

Answer 2

Hallo

Doppelintegral über f(x,y)dydx

dann zeichne das Gebiet auf und unterteile es bei x=3 dann als Grenzen  die Geradenstücke von (0,0) bis (3,3) y  von 0  bis  x, x von 0 bis 3. das rechte Stück überlass ich dir!

Gruß lul