Die Menge ist tatsächlich abgeschlossen. Um das zu überprüfen, empfiehlt es sich bei metrischen Räumen meist, irgendeine Folge in \( A\) zu betrachten, welche konvergiert.
Sei also \( \{ f_{ k} \}\subset A\) eine solche Folge mit Grenzwert \( f\). Wir wollen nun überprüfen,
ob der Grenzwert auch in \( A\) liegt. Wegen \( \left\| f_{ k} - f\right\|_{ L^{2}( \mathbf{R})} \) gilt für alle \( \varepsilon > 0\)
\(\begin{aligned} \mu\left( x \in \mathbf{R}\mid \left| f _{ k} ( x) - f( x) \right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{1}{ \varepsilon ^{ 2} } \left\| f_{ k} - f\right\|_{ L^{2}( \mathbf{R})}^2 \to 0 \text{ wenn } k \to \infty \end{aligned}\)
und somit konvergiert \( f _{ k} \) nach \( f\) im Mass. Also existiert eine Teilfolge \(\{ f _{ \ell } \} \subset \{ f _{ k} \}\) welche punktweise fast überall nach \( f \) konvergiert (bis auf eine Nullmenge \(M\)).
Sei nun \( N _{ \ell } \) die Nullmenge, auf welcher \( f _{ \ell } ( -x) = f_{ \ell } ( x) \) nicht gilt. Setzen wir nun \( N = \bigcup_{ k \geqslant 1}^{ } N_{ k} \cup M\) ,
so gilt auf \( \mathbf{R}\setminus N\), dass
\(\begin{aligned} 0 = \lim_{\ell \to\infty} ( f _{ \ell }( -x) - f _\ell ( x) ) = f( -x) - f( x) .\end{aligned}\)
Nun noch überprüfen, dass \( N\) tastächlich eine Nullmenge ist:
\(\begin{aligned} \mu\left( N\right) = \mu\left( \bigcup_{ k \geqslant 1}^{ } N_{ k}\cup M \right) \leqslant \sum_{ k = 1}^{\infty} \mu\left( N_{ k} \right) + \mu(M) = 0 .\end{aligned}\)
