Sei \(M\) ein 2-dimensionaler \(F_2\)-Vektorraum,
der zugleich ein \(F_2[T]\)-Modul ist. Dann ist
\(v\mapsto T\cdot v\) ein Vektorraum-Endomorphismus \(\varphi\)
von \(M\), entspricht also bzgl. einer \(F_2\)-Basis
\((b_1,b_2)\) einer \(2\times 2\)-Matrix \(A_{\varphi}\) mit Koeffizienten in \(F_2\).
Auf diese Weise entsteht
ein \(F_2\)-Algebrahomomorphismus \(F_2[T]\to Mat(2, F_2)\).
Zwei Matrizen \(A\) liefern (vermutlich) genau dann isomorphe
\(F_2[T]\) Modulstrukturen \(M_A\) in \(M=F_2^2\),
wenn sie durch einen Basiswechsel in einander
übergehen, d.h. durch einen inneren Automorphismus
der Matrizenalgebra in einander übergehen:
\(M_A\cong M_B\iff \exists S\in GL(2,F_2):\; B=S^{-1}AS\)
P.S.: Bin mir mit meinen Überlegungen keineswegs sicher,
will sagen: kann auch alles Blödsinn sein!
