Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten der Funktion f .

Question

Text erkannt:

Es sei mit reellen Zahlen \( \alpha_{0}, \beta_{0}, \alpha_{1} \) durch
\( f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \text { für } & -\pi<x<-\frac{\pi}{2}, \\ \alpha_{0} & \text { für } & x=-\frac{\pi}{2}, \\ -1 & \text { für } & -\frac{\pi}{2}<x<0, \\ \beta_{0} & \text { für } & x=0, \\ 1 & \text { für } & 0<x<\frac{\pi}{2} \\ \alpha_{1} & \text { für } & x=\frac{\pi}{2}, \\ 0 & \text { für } & \frac{\pi}{2}<x \leq \pi \end{array}\right. \)
eine periodische Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit der Periode \( 2 \pi \) definiert.
a) Wie muss \( f(x) \) an den Punkten \( x=-\frac{\pi}{2}, x=0 \) und \( x=\frac{\pi}{2} \) definiert sein, damit die Fourier-Reihe für alle \( x \in[-\pi, \pi] \) gegen \( f \) konvergiert?
b) Konvergiert die Fourierreihe gleichmäßig gegen \( f \) auf \( \mathbb{R} \) ?
c) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten der Funktion \( f \).

Wie geht man hier vor? Ich weiß nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Gibt es ein Schema, welches man folgen kann?

Comments

Oh, eine Aufgabe wie diese ist auch für mich interessant. Hat jemand zufällig die Lösung dazu?

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Tolle "Antwort"  !??

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Hallo an alle

Ich hab gesagt,was zu tun ist, wo liegt dann noch die Schwierigkeit? Integrale löst mit Rechenweg notfalls integralrechner.de

lul

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Ich erinnere an die Möglichkeit, eine konkrete Nach-Frage zu stellen.

Answer 1

Hallo

1. stelle fest, dass die Funktion punktsymmetrisch zu 0 ist, also nur sin Terme.

2. sieh die definition der Fourierkoeffizienten nach und löse die einfachen Integralem.

3, die Konstanten in der Mitte der Sprungstellen wären,

Gruß lul

Comments

@Pollenflug: Hast du mittlerweile schon etwas dazu? Wärst du so nett es hier zu teilen? Bin auf dem Gebiet tatsächlich hoffnungslos verloren.

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Leider noch nicht... :(

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Zu c) habe ich folgende Ergebnisse für die Koeffizienten

\( a_{0}=\frac{1}{\pi}\left(0+\alpha_{0} \cdot \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\alpha_{0}+1}{2} \)


\( a_{n}=\frac{1}{\pi}\left(\alpha_{0} \cdot \frac{2}{n} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)+\frac{1}{n} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)\right) \)


\( b_{n}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{n}-\alpha_{0} \cdot \frac{1}{n} \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right)\right) \)

Kann das stimmen?

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1. stelle fest, dass die Funktion punktsymmetrisch zu 0 ist, also nur sin Terme.

\(f(x)\) ist (formal) nicht punktsymmetrisch, wenn \(\alpha_0 \ne \alpha_1\). Aber die Frage ist, ob das überhaupt einen Rolle spielt. Ich meine - Nein!

@lul: Sind die Fourier-Koeffizienten \(a_i\) und \(b_i\) überhaupt von \(\alpha_{0,1}\) abhängig?

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Es kommt bei Integralen nicht auf einzelne isolierte Funktionswerte an. Daher sind die FKen unabhängig von \(\alpha_0,\alpha_1,\beta_1\) (und daher die obigen Ergebnisse falsch). Ebenso kann daher \(f\) für diese Zwecke als punktsymmetrisch angesehen werden, was, wie schon erwähnt wurde, \(a_k=0\) für alle \(k\) zur Folge hat (und daher die oben berechneten \(a_k\) nicht stimmen können).

Die Berechnung der FKen (wie gesagt, nur \(b_k\) nötig) geschieht über die Standardformel und Aufteilen des Integrals (Skizze der Funktion ist bei solchen Aufgaben stets hilfreich).

\(\alpha_0,\alpha_1,\beta_1\) spielt nur in a) und b) eine Rolle.

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\(\alpha_{0,1}\), \(\beta_1\) spielt nur in a) und b) eine Rolle.

Ah - wegen dem Passus: "... für alle \(x\in [-\pi\dots\pi]\)...", also auch für diese drei X-Werte ;-)

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nochmal zu c) Stimmt das jetzt?

Allgemeine Formel für die Fourier-Koeffizienten:

\( \begin{array}{l}a_{0}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) d x \\ a_{n}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (n x) d x \\ b_{n}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (n x) d x\end{array} \)

Da \( f(x) \) auf \( ]-\pi, 0[ \) und \( ] 0, \pi[ \) konstant, folgt:
\( \begin{array}{l} a_{0}=\frac{1}{\pi}\left(\int \limits_{-\pi}^{0} 0 d x+\int \limits_{0}^{\pi} 3 d x\right)=\frac{1}{\pi} \cdot 3 \pi=3 \\ a_{n}=\frac{1}{\pi}\left(\int \limits_{-\pi}^{0} 0 \cdot \cos (n x) d x+\int \limits_{0}^{\pi} 3 \cos (n x) d x\right)=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} 3 \cos (n x) d x \\ b_{n}=\frac{1}{\pi}\left(\int \limits_{-\pi}^{0} 0 \cdot \sin (n x) d x+\int \limits_{0}^{\pi} 3 \sin (n x) d x\right)=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} 3 \sin (n x) d x \end{array} \)

\( \begin{array}{l} a_{0}=3 \\ a_{n}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} 3 \cos (n x) d x=\frac{3}{\pi}\left[\frac{\sin (n x)}{n}\right]_{0}^{\pi}=\frac{3}{n \pi}(\sin (n \pi)-\sin (0))=0 \\ b_{n}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{0} 3 \sin (n x) d x=\frac{3}{\pi}\left[-\frac{\cos (n x)}{n}\right]_{-\pi}^{0}=\frac{3}{n \pi}(\cos (0)-\cos (-n \pi))=\frac{3}{n \pi}(1-(-1)^n) \end{array} \)

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Zu den \(a_k\) haben wir jetzt oft genug was gesagt (das Ergebnis 0 stimmt, aber dafür muss man gar nicht rechnen, und wenn man rechnet, dann nicht so (siehe zu \(b_k\))). Zu den \(b_k\): Hast Du ne Skizze gemacht? Dann würdest Du sehen, wie die Integrale aufgeteilt werden müssen.

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Da \( f(x) \) auf \( ]-\pi, 0[ \) und \( ] 0, \pi[ \) konstant, ...

\(f(x)\) ist im Intervall \(]-\pi,0[\) nicht konstant! $$f(x)= \begin{cases} 0 & -\pi \le x \lt -\frac{\pi}{2} \\ -1&-\frac{\pi}{2} \lt x \lt 0 \\ \dots \end{cases}$$

(Skizze der Funktion ist bei solchen Aufgaben stets hilfreich).

wie wahr!

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zur Kontrolle:$$a_n = 0 \quad \forall \,n\in \mathbb{N}_0 \\b_n = \frac{2}{n\pi}\left(1 - \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right) \quad \forall\, n\in\mathbb{N}$$

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a) Damit die Fourier-Reihe für alle \( x \in[-\pi, \pi] \) gegen \( f \) konvergiert, müssen die Funktionenwerte an den Punkten \( x=-\frac{\pi}{2}, x=0 \) und \( x=\frac{\pi}{2} \) so festgelegt sein, dass sie den Mittelwert dieser Punkte ergeben, weil \( f \) eine periodische Funktion ist.
Der Mittelwert von \( \alpha_{0},-1 \) und \( \beta_{0} \) ist:
Mittelwert \( =\frac{\alpha_{0}+(-1)+\beta_{0}}{3} \)
Daher gilt: \( f\left(-\frac{\pi}{2}\right), f(0) \) und \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) \) muss gleich diesem Mittelwert sein:
\( \begin{array}{l} \alpha_{0}=\text { Mittelwert }=\frac{\alpha_{0}+(-1)+\beta_{0}}{3} \\ \alpha_{0}=\frac{\alpha_{0}+\beta_{0}-1}{3} \\ 3 \alpha_{0}=\alpha_{0}+\beta_{0}-1 \\ 2 \alpha_{0}=\beta_{0}-1 \\ \alpha_{0}=\frac{\beta_{0}-1}{2} \end{array} \)
Daraus folgt, dass \( \alpha_{0} \) vom Wert von \( \beta_{0} \) abhängt.

Ist das korrekt so?

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Vielen Dank, ich habe jetzt c) lösen können.

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a) hat sich jetzt erledigt.

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Obiges zu a) ist falsch.

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Ja, ich weiß, richtige Lösung

1. Punkt \( x=-\frac{\pi}{2} \) :
\( f(x)=\alpha_{0} \) für \( x=-\frac{\pi}{2} \)
\( \alpha_{0}=\frac{0+(-1)}{2}=-\frac{1}{2} \)
2. Punkt \( x=0 \) :
Der Mittelwert zwischen den Funktionswerten links und rechts von \( x=0 \) ist:
\( \beta_{0}=\frac{(-1)+1}{2}=0 \)
3. Punkt \( x=\frac{\pi}{2} \) :
\( f(x)=\alpha_{1} \) für \( x=\frac{\pi}{2} \)
\( \alpha_{1}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2} \)
Daraus folgt folgende Definition der Funktion \( f(x) \) an den Punkten \( x= \) \( -\frac{\pi}{2}, x=0 \) und \( x=\frac{\pi}{2} \), damit die Fourier-Reihe für alle \( x \in[-\pi, \pi] \) gegen \( f \) konvergiert:
\( \begin{aligned} f\left(-\frac{\pi}{2}\right) & =-\frac{1}{2} \\ f(0) & =0 \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right) & =\frac{1}{2} \end{aligned} \)

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der Vollständigkeithalber habe ich zu c) folgendes:

Standardformeln für die Fourier-Koeffizienten:
\( \begin{array}{l} a_{n}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (n x) d x \\ b_{n}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (n x) d x \end{array} \)
Da \( f(x) \) punktsymmetrisch ist, sind alle \( a_{n} \) Koeffizienten gleich null. Daher müssen wir nur die \( b_{n} \) Koeffizienten berechnen.
Daraus folgt \( b_{n} \) :
\( b_{n}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (n x) d x=\frac{2}{\pi}\left(\int \limits_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} 0 \cdot \sin (n x) d x+\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0}(-1) \cdot \sin (n x) d x+\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot \sin (n x) d x+\int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 0 \cdot \sin (n x) d x\right) \)
Da die Sinusfunktion ungerade ist, verschwinden die Integrale über gerade Funktionen.

\( b_{n}=\frac{2}{\pi}\left(\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0}(-1) \cdot \sin (n x) d x+\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot \sin (n x) d x\right)=\frac{2}{\pi}\left(\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin (n x) d x+\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (n x) d x\right) \)
\( b_{n}=\frac{2}{\pi}\left(\left[-\frac{\cos (n x)}{n}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}+\left[-\frac{\cos (n x)}{n}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\right) \)

\( b_{n}=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\cos (0)}{n}+\frac{\cos \left(-\frac{n \pi}{2}\right)}{n}+\frac{\cos \left(\frac{n \pi}{2}\right)}{n}-\frac{\cos (0)}{n}\right) \)
( \( \cos (0)=1 \) und \( \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right)=0 \) für ungerade \( n \) )
\( b_{n}=\frac{2}{n \pi}\left(1-\cos \left(\frac{n \pi}{2}\right)\right) \)