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Aufgabe:

Ist (a, b, c) ein pythagoräisches Zahlentripel, so ist 60 ein Teiler von abc.?


Problem/Ansatz:

wie kann man zeigen?


Lg

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Unknown: https://www.onlinemathe.de/forum/Pythagoraeisches-Zahlentripel

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Jedes pimitive pythagoräische Tripel (a,b,c)(a,b,c) lässt sich aus einem Paar (m,n)(m,n) mit m>nm>n erzeugen, nämlich

        a=m2n2b=2mnc=m2+n2.\begin{aligned}a&=m^2-n^2\\b&=2mn\\c&=m^2+n^2\text{.}\end{aligned}

Dann ist

        abc=2mn(m4n4)a\cdot b\cdot c = 2mn(m^4-n^4).

Wegen 60=34560=3\cdot 4\cdot 5 genügt es deshalb, zu zeigen: Ist

        (m2n2,2mn,m2+n2)(m^2-n^2,\,2mn,\,m^2+n^2)

ein pimitives pythagoräisches Tripel, dann gilt

        42mn32mn    3m4n452mn    5m4n4.\begin{aligned}4|2mn\\3\nmid 2mn&\implies 3|m^4-n^4\\5\nmid 2mn&\implies 5|m^4-n^4\text{.}\end{aligned}

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wie kann man das zeigen?

42mn4|2mn: Begründe warum mnm\cdot n gerade ist.

32mn    3m4n43\nmid 2mn\implies 3|m^4-n^4: Angenommen 32mn3\nmid 2mn. Dann gilt 3m3\nmid m und 3n3\nmid n. Also existieren k,iNk,i\in \mathbb{N} mit

        m=3k+1m=3k+2m = 3k+1\vee m=3k+2

und

        n=3i+1n=3i+2n = 3i+1\vee n=3i+2.

Setze in m4n4m^4-n^4 ein.

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