Ist (a, b, c) ein pythagoräisches Zahlentripel, so ist 60 ein Teiler von abc.?

Question

Aufgabe:

Ist (a, b, c) ein pythagoräisches Zahlentripel, so ist 60 ein Teiler von abc.?

Problem/Ansatz:

wie kann man zeigen?

Lg

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Doppelpost               .

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Answer 1

Jedes pimitive pythagoräische Tripel $(a,b,c)$ lässt sich aus einem Paar $(m,n)$ mit $m>n$ erzeugen, nämlich

        $\begin{aligned}a&=m^2-n^2\\b&=2mn\\c&=m^2+n^2\text{.}\end{aligned}$

Dann ist

        $a\cdot b\cdot c = 2mn(m^4-n^4)$.

Wegen $60=3\cdot 4\cdot 5$ genügt es deshalb, zu zeigen: Ist

        $(m^2-n^2,\,2mn,\,m^2+n^2)$

ein pimitives pythagoräisches Tripel, dann gilt

        $\begin{aligned}4|2mn\\3\nmid 2mn&\implies 3|m^4-n^4\\5\nmid 2mn&\implies 5|m^4-n^4\text{.}\end{aligned}$

Comments

wie kann man das zeigen?

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$4|2mn$: Begründe warum $m\cdot n$ gerade ist.

$3\nmid 2mn\implies 3|m^4-n^4$: Angenommen $3\nmid 2mn$. Dann gilt $3\nmid m$ und $3\nmid n$. Also existieren $k,i\in \mathbb{N}$ mit

        $m = 3k+1\vee m=3k+2$

und

        $n = 3i+1\vee n=3i+2$.

Setze in $m^4-n^4$ ein.