Nullstellen von Funktionenscharen bestimmen

Question

Aufgabe:

Ermittle die Nullstellen folgender Funktionen

1.$$f_t(x)=2 \sqrt{x}- \sqrt{tx-1}$$

2.$$f_m(x)= 1/3 \sqrt{(mx+1)^3}-mx-1$$

Problem/Ansatz:

Bei der $$f_t(x)=2 \sqrt{x}- \sqrt{tx-1}=0$$ würde ich zuerst quadrieren

1.$$f_t(x)=4x-(tx-1)= 4x-tx+1$$und jetzt?

Answer 1

Es gilt (a - b)² ≠  a² - b² und vor dem Quadrieren würde ich bei der gleich null gesetzten Gleichung zuerst auf beiden Seiten $\sqrt{tx-1}$ addieren.

Answer 2

Hallo,

eim Quadrieren einer Summe oder Differenz fällt die Wurzel leider nicht weg.

So geht's besser:

$0=2 \sqrt{x}- \sqrt{tx-1}$

$2 \sqrt{x}=\sqrt{tx-1}$  Jetzt quadrieren!

$4x=tx-1$

$1=tx-4x$

$1=x(t-4)$

Für t=4 gibt es keine Nullstelle, da 1≠x•0.

Für t≠4:

$x=\dfrac{1}{t-4}$

Außerdem muss gelten

x≥0 und tx-1≥0.

$x\ge0 \Rightarrow \dfrac{1}{t-4}\ge0 \Rightarrow t>4$

Die zweite Bedingung ist damit auch erfüllt.

Für t≤4 gibt es keine Nullstelle.

$f_m(x)= \dfrac13 \sqrt{(mx+1)^3}-mx-1$

$\dfrac13\sqrt{(mx+1)^3}=mx+1~~~~~~|(...)^2$

$\dfrac{1}{9}(mx+1)^3=(mx+1)^2$

$(mx+1)^3=9(mx+1)^2$

$(mx+1)^3-9(mx+1)^2=0$

$(mx+1)^2(mx-8)=0$

Für m=0 gibt es keine Nullstelle.

Für m≠0:

$x=-\dfrac1m\text{ oder }x=\dfrac8m$

...

:-)

Comments

ohjeh was habe ich da gemacht...danke!

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Ich merke gerade, dass meine Antwort noch nicht ganz richtig ist.

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Nun habe ich sie bearbeitet.

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Jetzt ist die zweite auch fertig.

:-)