Berechnung mittels Newtonverfahren

Question

Hallo, leider finde ich zu dieser Aufgabe keinen gescheiten Ansatz. Ich habe mir die Funktion f(x)=\( x^{k} \)-α überlegt. Doch nach dem ersten Iterationsschritt kommt ein unschöner Ausdruck raus: α-(\( α^{k} \)-α)/(k*\( α^{k-1} \)). Da es sich damit schlecht rechnen lässt, denke ich, dass mein Ansatz falsch ist.

Die Aufgabe lautet:

Nutzen Sie das Newton-Verfahren zur ”händischen“ Berechnung der k-ten Wurzel, k ∈ IN,
einer positiven Zahl α ≠ 1, d.h. das Verfahren sollte Formeln benutzen, die nur auf den 4
Grundrechenarten basieren. Geben Sie auch einen Startwert an, so dass die Iterierten
sicher gegen \( \sqrt[k]{α} \) konvergieren.

Answer 1

f(x) = x^k - a

Formel für die Näherung

x_neu = x - f(x)/f'(x) = x - (x^k - a)/(k·x^(k - 1)) = x + (a/x^(k - 1) - x)/k

Hier ist zwar das Potenzieren enthalten aber das beruht ja auf einer Multplikation kann also auch über eine Multiplikation vereinfacht werden.

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Comments

Für x_1 habe ich ja bereits einen neuen "Wert" raus. Allerdings erschließt sich mir nicht, wie man davon mithilfe weiterer Schritte auf die k-te Wurzel von a kommen soll

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Was ist den dein x0 ?

Und das händisch durchrechnen ist natürlich nicht wörtlich gemeint. ohne a und k ist das auch schlecht möglicht.

D.h. es langt die Formel für das Newtonverfahren, die im Prinzip dazu dient beliebige Wurzeln zu beliebigen Zahlen zu berechnen.