Begründen das f linear ist und ein Isomorphismus ist

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4 (14 Punkte). Betrachten Sie die Abbildung $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto(x, x+y)$.
(i) Begründen Sie, dass $f$ linear ist.
(ii) Bestimmen Sie
$[v]_{\mathcal{B}_{1}}, \quad[f]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}_{2}}, \quad f(v) \quad \text { und }[f(v)]_{\mathcal{B}_{2}}$
mit (geordneten) Basen $\mathcal{B}_{1}=((1,2),(2,1))$ und $\mathcal{B}_{2}=((1,1),(0,1))$ und $v=(3,3)$.
(iii) Ist $f$ ein Isomorphismus? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Bräuchte einen Tipp für die i) und iii). Isomorphismus ist wenn es bijektiv und linear ist?

Answer 1

i) Jede Abb., die sich in der Form Matrix mal Vektor schreiben lässt, ist automatisch linear. Finde also die Matrix zu f (hilft auch bei ii)).

iii) Ja, bijektiv muss es sein. Injektiv bedeutet z.B. $kern\, f =\{0\}$. Kern und Bild kannst Du ja nun berechnen (siehe Deine vorige Frage).