Zeigen Sie: \int_01 \frac{x-1}{\ln(x)} dx = \ln(2)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: $$\int_0^1 \frac{x-1}{\ln(x)} dx = \ln(2)$$

Betrachten Sie $$I_a(t) := \int_a^1 \frac{x^t - 1}{\ln(x)} dx$$  für $$t \geq 0$$  und $$a \in (0,1)$$.

$$\text{Um zu zeigen, dass } \int_0^1 \frac{x-1}{\ln(x)} dx = \ln(2) \text{ gilt, betrachten wir die Funktion } I_a(t) := \int_a^1 \frac{x^t - 1}{\ln(x)} dx \text{ für } t \geq 0 \text{ und } a \in (0,1).$$

$$\text{Zunächst betrachten wir den Fall } t = 0: I_a(0) = \int_a^1 \frac{x^0 - 1}{\ln(x)} dx = \int_a^1 \frac{1 - 1}{\ln(x)} dx = 0.$$

$$\text{Für } t > 0 \text{ betrachten wir die Funktion } I_a(t): I_a(t) = \int_a^1 \frac{x^t - 1}{\ln(x)} dx.$$
(ab hier sind wir uns unsicher)
$$\text{Wir nehmen an, dass die Funktion } f(t) = I_a(t) \text{ differenzierbar ist. Um dies zu zeigen, berechnen wir die Ableitung von } f(t) \text{ nach } t:$$

$$\frac{d}{dt} I_a(t) = \frac{d}{dt} \left(\int_a^1 \frac{x^t - 1}{\ln(x)} dx\right).$$

$$\text{Durch Anwendung der Ableitungsregeln und des Fundamentalsatzes der Analysis erhalten wir:}$$

$$\frac{d}{dt} I_a(t) = \int_a^1 \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{x^t - 1}{\ln(x)}\right) dx.$$

$$\text{Da } \frac{\partial}{\partial t} (x^t - 1) = x^t \ln(x) \text{ und } \frac{\partial}{\partial t} (\ln(x)) = 0 \text{, vereinfacht sich der Ausdruck zu:}$$

$$\frac{d}{dt} I_a(t) = \int_a^1 \frac{x^t \ln(x)}{\ln(x)} dx = \int_a^1 x^t dx.$$

$$\text{Integrieren wir den Ausdruck, erhalten wir:}$$

$$\frac{d}{dt} I_a(t) = \left[\frac{x^{t+1}}{t+1}\right]_a^1 = \frac{1}{t+1} - \frac{a^{t+1}}{t+1}.$$

$$\text{Da } \frac{d}{dt} I_a(t) \text{ die Ableitung von } I_a(t) \text{ nach } t \text{ ist, müssen wir } \frac{d}{dt} I_a(t) \text{ mit } I_a'(t) \text{ bezeichnen.}$$

$$\text{Um das Problem zu lösen, betrachten wir die gewöhnliche Differentialgleichung:}$$

$$I_a'(t) = \frac{1}{t+1} - \frac{a^{t+1}}{t+1}, \quad I_a(0) = 0.$$

$$\text{Die Lösung dieser Differentialgleichung ist:}$$

$$I_a(t) = \int_0^t \frac{1}{s+1} - \frac{a^{s+1}}{s+1} ds.$$

$$\text{Integrieren wir den Ausdruck, erhalten wir:}$$

$$I_a(t) = \ln(t+1) - \int_0^t \frac{a^{s+1}}{s+1} ds.$$

$$\text{Da } \int_0^t \frac{a^{s+1}}{s+1} ds \text{ für } t \geq 0 \text{ monoton fallend ist, können wir den Ausdruck zu:}$$

$$I_a(t) = \ln(t+1) - \int_0^\infty \frac{a^{s+1}}{s+1} ds + R,$$

$$\text{wobei } R \text{ ein Restterm ist.}$$

$$I_a(t) = \ln(t+1) - \int_0^\infty \frac{1}{s+1} ds = \ln(t+1) - \ln(1) = \ln(t+1).$$

$$\text{Nun betrachten wir den speziellen Fall } t = 1: I_a(1) = \ln(1+1) = \ln(2).$$

$$\text{Da } I_a(t) = \ln(t+1) \text{ für } t \geq 0 \text{ und } I_a(1) = \ln(2), \text{ folgt daraus:}$$

$$\int_0^1 \frac{x-1}{\ln(x)} dx = \ln(2).$$

Comments

Und was ist deine Frage?

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vgl:

https://www.integralrechner.de/

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weiß nicht ob wir es überprüfen können denke ich

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Beim Integralrechner kommt diese komische Ei(x) raus und mit der Funktion I_a(t) für t > 0 kommt man auch nicht weiter