Hallo,
ich orientiere mich bei den Ausführungen an dem Skript hier.(insbesondere Definition über Kurvenintegrale über 1-Formen auf S.41 und Beweis von Satz 5.6)
Sei x0=0R3 und setze für x=(x1,x2,x3)∈R3
Φ(x)=∫γxω=∫01ω(γx(t),γx′(t))dt
mit γx(t)=tx,t∈[0,1] (Verbindungsstrecke von x0 nach x). ⇒γx′(t)=x
Dann rechnen wir nach
Φ(x)=∫01ω(γx(t),γx′(t))dt=∫01ω(tx,x)dt=∫01⟨v(tx),x⟩dt
=∫01⟨⎝⎛(tx3)2−tx2sin(tx1)cos(tx1)−2tx32tx1tx3−2tx2+tx3⎠⎞,⎝⎛x1x2x3⎠⎞⟩dt=nachrechnenx1x32+21x32−2x2x3+x2cos(x1)
Dies ist tatsächlich eine Stammfunktion der 1-Form ω, wie man leicht überprüft (das ist Inhalt von Satz 5.6).
z.B. ist ∂x1∂Φ(x1,x2,x3)=x32−x2sin(x1)=ω1(x1,x2,x3)