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Aufgabe: Gegeben sei ein Vektorfeld v: ℝ3 → ℝ3, x ↦ (x32-x2sin(x1), cos(x1)-2x3, 2x1x3-2x2+x3)T und die 1-Form

             ω: ℝ3xℝ3 → ℝ, (x,h) ↦ ⟨v(x),h⟩. Bestimme eine Stammfunktion von ω.

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Hallo

was ist h?

lul

Da (x,h) in ℝ3xℝ3 liegt, ist h offensichtlich ein Element von ℝ3

Hallo

das war mit klar! aber ist e constant h=(h1,h2,h3) oder hängt es von x ab.

h ist konstant mit h=(h1,h2,h3)

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Hallo,

ich orientiere mich bei den Ausführungen an dem Skript hier.(insbesondere Definition über Kurvenintegrale über 1-Formen auf S.41 und Beweis von Satz 5.6)

Sei x0=0R3x_0 = 0_{\mathbb{R}^3} und setze für x=(x1,x2,x3)R3x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3

Φ(x)=γxω=01ω(γx(t),γx(t))dt \Phi(x) = \int_{\gamma_x}\omega = \int_0^1\omega(\gamma_x(t),\gamma_x^\prime(t))\,dt

mit γx(t)=tx,t[0,1]\gamma_x(t) = tx, t\in[0,1] (Verbindungsstrecke von x0x_0 nach xx). γx(t)=x\Rightarrow \gamma_x^\prime(t) = x

Dann rechnen wir nach

Φ(x)=01ω(γx(t),γx(t))dt=01ω(tx,x)dt=01v(tx),xdt \Phi(x) = \int_0^1\omega(\gamma_x(t),\gamma_x^\prime(t))\,dt = \int_0^1\omega(tx,x)\,dt =\int_0^1\langle v(tx),x\rangle\,dt

=01((tx3)2tx2sin(tx1)cos(tx1)2tx32tx1tx32tx2+tx3),(x1x2x3)dt=nachrechnenx1x32+12x322x2x3+x2cos(x1) = \int_0^1\langle\begin{pmatrix} (tx_3)^2-tx_2\sin(tx_1)\\ \cos(tx_1)-2tx_3 \\2tx_1tx_3-2tx_2+tx_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\rangle\,dt \overbrace{=}^{\text{nachrechnen}} x_1x_3^2+\frac12x_3^2-2x_2x_3+x_2\cos(x_1)

Dies ist tatsächlich eine Stammfunktion der 1-Form ω\omega, wie man leicht überprüft (das ist Inhalt von Satz 5.6).

z.B. ist Φx1(x1,x2,x3)=x32x2sin(x1)=ω1(x1,x2,x3) \frac{\partial\Phi}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3) = x_3^2-x_2\sin(x_1) = \omega_1(x_1,x_2,x_3)

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