Bestimmen Sie fünf Primitivwurzeln modulo 29.

Question

Hallo,

verstehe diese Aufgaben nicht. Könnte mir jemand helfen ?

1. Bestimmen Sie fünf Primitivwurzeln modulo 29.
2. Wie viele Primitivwurzeln gibt es modulo 54?

vielen Dank

Answer 1

1. Prüfe ob 0 eine Primitivwurzel modulo 29 ist.

Prüfe ob 1 eine Primitivwurzel modulo 29 ist.

Prüfe ob 2 eine Primitivwurzel modulo 29 ist.

...

Prüfe ob 28 eine Primitivwurzel modulo 29 ist.

2. Ebenso.

Comments

kannst du mir das ausführlicher erklären ?

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Was verstehst du denn konkret nicht? Du weißt was eine Primitivwurzel ist

Hier ein Rechner, der dir eine gewünschte Anzahl an Primitivwurzeln ausgeben kann.

https://services.informatik.hs-mannheim.de/kryptolern/primitive_wurzel.php?p=29&start=&cnt=5&x=&ausfuehrlich=on

Answer 2

Zu 1.:

Eine Primitivwurzel mod 29 ist ein Erzeuger der multiplikativen

Gruppe \(\mathbb{F}_{29}^*\), die aus 28 Elementen besteht.

Bereits mit \(2\) haben wir einen Glückstreffer, da \(ord(2)=28\) ist.

Man berechne einfach die Potenzen \(2^k\) mod 29.

Wenn man in einer zyklischen Gruppe \(G\) ein erzeugendes

Element \(r\) gefunden hat, so ist auch \(r^m\) ein

erzeugendes Element von \(G\), wenn ggT(\(m,\),ord(\(G))=1\) ist.

D.h. \(2^m\) ist Primitivwurzel mod 29, wenn \(m\) teilerfremd

zu 28 ist. Das liefert insgesamt \(\varphi(28)=12\) verschiedene

Primitivwurzeln.

Comments

Text erkannt:

modolo \( 29 \bmod / 29) \)

Müsste man so vorgehen?

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Im Prinzip: ja. Du hast aber wohl Rechenfehler gemacht.

Ich habe \(2^8\equiv 24\)

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muss ich danach noch was hinzufügen

und wie schreibe ich dann das ergbniss auf ?

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Wenn du deine Rechenfehler beseitigt hast,

solltest du jetzt haben:

\(2^n\not \equiv 1\) für \(n<28\) und damit ist

\(n=28\) der kleinste Exponent \(n\geq 1\) ,

für den \(2^n\equiv 1\) mod \(29\) gilt:

\(2\) ist also Primitivwurzel mod \(29\).

Ich schrieb

Wenn man in einer zyklischen Gruppe \(G\) ein erzeugendesElement \(r\) gefunden hat, so ist auch \(r^m\) einerzeugendes Element von \(G\), wenn ggT(\(m,\),ord(\(G))=1\) ist.D.h. \(2^m\) ist Primitivwurzel mod 29, wenn \(m\) teilerfremdzu 28 ist.

In unserem Falle ist ord(\(G\))=28 ...

Damit weißt du, dass \(2^3,\; 2^5,\; \cdots\) ebenfalls Primitivwurzeln

mod \(29\) sind.

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Also wären meine Ergebnisse

2^3, 2^5, 2^6, 2^8, 2^9, 2^10, 2^11, 2^12, 2^13, 2^15.... 2^28

also hätte ich 23 Primitivwurzeln Mod(29)

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Nein. 6 und 28 sind doch nicht teilerfremd.

9 und 28 sind teilerfremd, aber 10 und 28 wieder nicht.

Hast du meinen Text nicht gelesen ?

Ich habe doch geschrieben, dass es 12 verschiedene

Primitivwurzeln gibt, da die prime Restklassengruppe mod 28

12 Elemente besitzt.

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So wie ich das jetzt verstanden wäre es:

2^3, 2^5, 2^7, 2^9, 2^11, 2^13, 2^15, 2^17, 2^19, 2^23, 2^25, 2^27.

Was ich aber dann nicht verstehe ist, dass es Tabellen zu Modulo 29 gibt mit folgende Primitivwurzel: 2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27.

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Ja. 10 ist eine Primitivwurzel mod 29; denn

\(10\equiv 2^{23}\) und 23 und 28 sind teilerfermd.

Du scheinst die Potenzen mit den Exponenten zu

verwechseln.

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So wie ich das jetzt verstanden wäre es:

Du solltest die Potenzen natürlich noch ausrechnen. Dabei rechnen wir alles modulo 29.

2^3 = 8
2^5 = 3
2^9 = 19
2^11 = 18
2^13 = 14
2^15 = 27
2^17 = 21
2^19 = 26
2^23 = 10
2^25 = 11
2^27 = 15

Und dann vergleiche die Liste mit den Primitivwurzeln von 29.